Analizaremos la potencia transmisible por líneas de distintas características, y en particular de distinta longitud, para simplificar el problema consideramos una línea sin perdidas (despreciables).

Representamos el circuito PI de la línea, de longitud long, con inductancia (por unidad de longitud) L y capacitancia C, el circuito PI incluye una rama serie de inductancia Lser, y dos capacitores (uno en cada extremo) en derivación de capacitancia Cpar.

Lser = long * L * sen(beta * long) / (beta * long)

Cpar = (long / 2) * C * tg(beta * long / 2) / (beta * long / 2)

El valor beta es la constante de fase de la línea, el otro valor de interés es la potencia natural de la línea Pn.

Al energizar la línea con tensión Ug del lado generador, se presenta Uc en el extremo Uc es mayor que Ug.

La línea de transmisión de energía une dos fuentes con igual polaridad, el flujo es gobernado por Lser, las tensiones están impuestas, la energía va de una fuente a otra (sumidero), normalmente la tensión del suministro esta impuesta, la tensión del consumo puede tener otro valor.

Se puede construir un diagrama fasorial, U1, I2, j X * I2, U2, observándose el ángulo fi entre U2 e I2, y el ángulo delta entre U1 y U2.

U2 * I2 * cos(fi) = P

U2 * I2 * sen(fi) = Q

Si el diagrama se multiplica todo por (U2 / X) los valores de corriente proyectados representan a P y Q, la tensión U1 cambiada de escala y proyectada sobre el eje P resulta

P = U1 * (U2 / X) sen(delta)

Se observa entonces que dada una línea la potencia que puede transmitirse depende del ángulo delta que corresponde a la carga. Aparece entonces un máximo posible Pmax para delta = PI / 2 que es un limite físico, y que se denomina limite de estabilidad mas allá del cual la transmisión no es posible. El valor de delta se mantiene limitado a 30 o 45 grados, mas allá de este limite una perturbación puede traer consecuencias fatales (pérdida de sincronismo).

La potencia natural Pn esta ligada a la tensión nominal (que debe ser normal) Un y a la impedancia característica Zc.

Pmax / Pn = (U1 * U2 / X) / (Un^2 / Zc) = (U1 * U2 / Un^2) / (X / Zc)

P / Pn = (Pmax / Pn) * sen(delta)

Si se acepta que U1 y U2 son (casi) iguales

P / Pn = (Zc / X) * sen(delta) = sen(delta) / sen(beta * long)

Nótese que en la transmisión a potencia natural las tensiones y corrientes están siempre en fase entre si, en los extremos de la línea y en puntos intermedios.

Que pasa con las tensiones? U1 es la tensión en el emisor, U2 en el receptor. Veamos nuevamente el cuadripolo, queremos encontrar una relación entre la potencia de la carga P + j Q, las tensiones U1 y U2, y los parámetros X y B.

Nótese que la corriente en la línea (X) es la corriente de la carga corregida por la corriente en el capacitor extremo (B / 2)

X = Z0 sen(beta * long)

Z0 = Zc

B / 2 = (1 / Z0) * tg(beta * long /2)

Pn = Up^2 / Z0

U1 * cos(delta) = U2 + X * (Q – (B / 2) * U2^2) / U2

U1 * sen(delta) = X * P / U2

Q = P * tg(fi)

Elevando a cuadrado y sumando se logran las siguientes relaciones entre módulos:

U1^2 = (X * P / U2)^2 + (U2 + X * (Q – (B / 2) * U2^2) / U2)^2

U1^2 = (X * P / U2)^2 + (U2 + X * P * tg(fi) / U2 – X * (B / 2) * U2)^2

(U1 / U2)^2 = (P / Pn * sen(beta * long))^2 + (P / Pn * tg(fi) * sen(beta * long) + cos(beta * long))^2

Esta formula muestra que la relación de tensiones depende Pn y beta que caracterizan la línea, y P y fi que caracterizan la condición de funcionamiento (carga).

El caso particular fi = 0, Q = 0 haciendo algunas sustituciones

(U1 / U2)^2 – 1 = (P / Pn)^2 * (sen(beta * long))^2 + (cos(beta * long))^2 - 1

(U1 / U2)^2 – 1 = (P / Pn)^2 * (sen(beta * long))^2 - (sen(beta * long))^2

muestra una formula simple

(U1 / U2)^2 – 1 = ((P / Pn)^2 – 1) * (sen(beta * long))^2

Observándose simetría entre los ángulos de transmisión, tensiones y potencias. Si P > Pn resulta U1 > U2 y viceversa. El valor de U1 / U2 puede estar comprendido entre 0.95 y 1.05

P / Pn = raíz((U1 / U2)^2 – cos(beta * long)^2) / sen(beta * long)

Si la línea es muy corta beta * long es aproximadamente cero se puede transmitir mucha potencia sin que se pasen los limites de transmisión

El caso de la línea muy corta impone condiciones de no superar en los conductores temperaturas máximas admitidas (en régimen permanente).

Cuando la línea esta cargada por un tiempo relativamente largo el limite de corriente que se puede transmitir esta dado por las perdidas, cuyo valor económico puede justificar una mayor inversión en los conductores de la línea, tema que se estudia con el titulo de sección económica, haciendo consideraciones conocidas como ley de Kelvin.

Hemos iniciado encontrando un limite de estabilidad, para el cual de fija un Angulo delta limite (45 grados para fijar un valor)

P / Pn = sen(delta) / sen(beta * long)

Luego hemos encontrado un limite debido a la tensión (la formula simple presentada es con Q = 0)

P / Pn = raíz((U1 / U2)^2 – cos(beta * long)^2) / sen(beta * long)

Por ultimo hemos establecido un limite de corriente, que se traduce en un limite de potencia

P / Pn = constante (limite térmico)

Al analizar líneas de iguales parámetros y de distintas longitudes ( frecuencia de 50 Hz) se observa que:

• hasta 30 km (aproximadamente) el limite es corriente térmica
• hasta un valor entre 300 y 500 km (aproximadamente) el limite es por caída de tensión
• mas de 500 km el limite se presenta por estabilidad

Recordemos que al acercarnos a los 1000 km aparecen otros problemas

El capitulo 6 relaciones de voltaje y corriente en una línea de transmisión - del libro de Graiger y Stevenson - ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA es la lectura adecuada completar estos temas.