Un medio homogéneo, es aquel en el cual sus características físicas no varían de un punto a otro.

Un medio lineal es aquel en que se mantiene la proporcionalidad causa efecto entre dos magnitudes relacionadas por una característica física.

Un medio isotrópico es aquel para el cual sus propiedades no dependen de la dirección (en el espacio).

Cuando los medios son homogéneos, lineales, isotrópicos los estudios son más fáciles, y por suerte esta situación puede suponerse frecuente.

La permitividad ya se ha visto que es una característica de los dieléctricos, e ₀ para el vacío, e para un medio genérico, e _r la relativa.

El flujo eléctrico en un dieléctrico está relacionado con el campo eléctrico, (fórmula 17) en un medio genérico.

Dentro de un medio el campo es continuo, de un punto a otro vecino cambia solo infinitesimalmente, en la frontera, límite del medio, el cambio puede ser abrupto (tanto en magnitud como dirección).

Conviene observar el campo en la frontera a través de sus componentes normal y tangencial.

El campo tangencial en la frontera conductor dieléctrico es nulo (efectivamente, el campo es normal al conductor).

En la frontera entre medios e ₁ y e ₂ las componentes tangenciales de E son las mismas a ambos lados de la frontera (Fig. A1.12):

(20)

El campo eléctrico tangencial es continuo a lo largo de la frontera entre dos medios (las diferencias de potencial entre dos puntos en los dos medios son iguales).

Sigue el análisis del campo normal, si ambos medios son aisladores perfectos, y se aplica la ley de Gauss:

D_n1 - D_n2 = r _s (21)

La carga superficial promedio en la frontera cumple esta última condición, como la frontera entre dieléctricos está normalmente libre de carga:

D_n1 = D_n2 (22)

Siendo a ₁ y a ₂ los ángulos de incidencia del campo en la frontera, se tiene:

(23)

Con estas reglas se observa como se quiebran las líneas de campo al pasar de un medio a otro, fenómeno que nos recuerda la refracción de la luz.

Dos conductores, separados por un dieléctrico e , de área A, y espesor d, presentan cierta capacitancia:

(24)

Para dos conductores separados por dos dieléctricos distintos de diferentes espesores, se debe observar como se reparten los potenciales entre los dieléctricos.

(25)

Es interesante observar cual dieléctrico tiene más campo, y explicar el por que de ciertos problemas que quizás han llegado a ser fallas en los dieléctricos de máquinas y aparatos.

Un problema interesante es analizar una burbuja (esfera) de un dieléctrico dentro de otro (aire, polietileno por ejemplo) al que se aplica un campo uniforme, pero para plantear este problema debemos avanzar más.

Si se sobrepasa cierto valor de E se produce una descarga en el dieléctrico, hay una intensidad de campo que el dieléctrico soporta sin descargar.

Para el problema de la burbuja (de aire dentro del dieléctrico) se producen descargas en el aire que se relacionan con el fenómeno de descargas parciales.

El campo E es proporcional a la densidad de carga superficial del metal, y aumenta cuando el radio de curvatura se hace pequeño.

Lectura recomendada John D. Kraus, Electromagnetismo (Mc Graw Hill) sección 3-11 pag 82 - distribuciones del campo.

Merece observarse el campo alrededor de una línea finita de carga, y como límite (caso extremo) una línea infinita, problemas que ya se han resuelto al menos idealmente.

El caso de dos líneas infinitas separadas por cierta distancia también puede resolverse. El problema de un conductor lineal, y un plano de retorno infinito, se puede resolver como dos líneas infinitas paralelas haciendo la imagen del conductor lineal (suponiendo que el plano es un espejo).

Otra lectura D. Kraus, Electromagnetismo (Mc Graw Hill) sección 3-19 página 92 - Mapas de campo y celdas de campo.

Cuando todas las secciones transversales son iguales el problema es bidimensional.

Es fácil observar las celdas de campo, capacitores que son celdas de campo, todas de la misma capacitancia c₁, se tienen n_p en paralelo, y n_s en serie, la capacitancia resultante es:

(26)

Si la geometría de los capacitores (cuadrados) satisface:

b / l = 1 entonces c₁ / d = e (27)

El campo eléctrico se puede obtener resolviendo la ecuación de divergencia de Maxwell, que se obtiene a partir de la ley de Gauss.

Divergencia D = r (28)

Recordemos que r es la densidad de carga eléctrica, y de estas se obtienen las ecuaciones de Poisson:

Divergencia del Gradiente de V = Ñ ² V = (29)

Y de Laplace, cuando no hay carga r

Divergencia del Gradiente de V = Ñ ² V = 0 (30)

Observemos el operador Ñ ² es la divergencia del gradiente, primero sobre V se opera y obtiene el gradiente (campo E) luego se aplica el operador divergencia. En matemáticas, y en coordenadas rectangulares el operador Ñ ²:

(ver la ultima hoja del libro de Kraus, particularmente para coordenadas rectangulares y otros sistemas de coordenadas).

Alrededor de una carga eléctrica en el espacio pueden imaginarse superficies equipotenciales y líneas de fuerza (de campo) perpendiculares entre si, la superficie equipotencial próxima al cuerpo (cargado) copia la forma del cuerpo, la superficie alejada tiende a la forma de la esfera, si el espacio es limitado, en la proximidad de los límites, copiará su forma, pero en los diedros cóncavos especialmente tenderá a deformar la superficie equipotencial tendiendo a la esfera.

El campo eléctrico es muy fácil de comprender, cuando se piensa en dos placas planas separadas, entre ellas el campo se intuye fácilmente.

También si los cuerpos entre los que se forma el campo tienen forma cualquiera es posible resolver el problema, pero si se dan ciertas condiciones de simetría la resolución es más simple, por esta razón al encarar un problema siempre debe buscarse la eventual presencia de esta situación.

Idealmente se puede medir el campo en cada punto, medir el potencial y dibujar un mapa de campo. Si el problema es plano (bidimensional) esta tarea parece mucho más fácil.

Ya hemos visto que el problema esta planteado en una ecuación diferencial, la forma de resolverla es estudiando matemáticas... pero no siempre esto es rápido y simple, las computadoras hoy nos permiten obtener soluciones en relativamente poco tiempo, utilizando distintos métodos, los más fáciles de implementar son numéricos.

El cálculo numérico permite determinar el potencial en cada punto, el campo bidimensional que se quiere estudiar se divide con una cuadrícula regular, el método consiste en obtener el potencial en un punto de la cuadrícula como función (se demuestra que es el promedio) de los cuatro puntos que lo rodean.

Este método se llama método de relajación y en base a él se ha desarrollado un programa llamado "POTRES" para resolver el potencial de un campo bidimensional.

Para esto primero se define el área (cuadrada) de estudio del campo, cantidad de puntos en los que se determina el potencial. En rigor se debe dar la cantidad de segmentos que contiene un lado del campo que es uno menos que la cantidad de puntos del lado.

Supongamos en el primer enfoque que el campo es bidimensional plano.

Estos datos se preparan en un archivo de datos correspondiente al problema, el archivo esta relleno con caracteres adecuados que se convierten en valores de contorno, y reglas de cálculo para los otros puntos.

Se hace el cálculo, y se genera la tabla de valores, matriz de resultados, con el valor del potencial en cada punto, también puede generarse una tabla de valores que permiten, con el programa "ISOLUX" que traza isopletas, ver el mapa de líneas equipotenciales.

Los resultados obtenidos permiten trazar las líneas equipotenciales en el plano, como estas líneas son perpendiculares a las líneas de campo, entonces se puede intentar trazar las líneas de campo a mano, pero también se puede plantear un problema dual y obtener equipotenciales duales cuyo significado es el de líneas de campo, que contienen tubos de flujo.

El programa incluye una opción que ayuda a convertir el archivo de datos a uno dual para trazar el campo normal, en este caso deben corregirse en general los puntos de contacto entre equipotenciales y líneas de campo de frontera.

El lote de datos se prepara en un rectángulo lleno de caracteres que representan puntos del espacio. A cada punto del rectángulo corresponde una letra o un número que asignan al punto cierto significado:

0, 1 a Q: potencial de una línea equipotencial valor 0, 10 a 100

V: el potencial intermedio entre 0 y Q, que se calcula interpolando

E: punto externo al campo, no se calcula el potencial

I: punto interno al campo, se calcula usando los cuatro puntos N S E W

J: que se explicara más adelante

C o D: línea de flujo

Si el área es plana se calcula el campo plano, los datos son suficientes.

De la descripción de datos se observa que para los puntos I (internos) no se conoce el potencial (para los V tampoco), para los otros esta impuesto, el método de resolución es de aproximaciones sucesivas, y para iniciar en buenas condiciones se asigna a los puntos de potencial desconocido el potencial promedio, determinado en base a todos los puntos de potencial conocido.

Para cada punto i, j, se observa su ubicación y característica de posición.

Si el punto es externo no se calcula, no interesa su potencial.

Si es una equipotencial no se calcula, se conoce su potencial.

Si es un punto de potencial intermedio, se debe calcular interpolando entre los valores conocidos de los puntos equipotenciales que se encuentran a los lados, o utilizando los potenciales intermedios (de los puntos laterales con potencial intermedio) calculados a ese momento (en la siguiente iteración se corrigen), usando un método similar al que a continuación se expone.

Para los puntos internos se debe calcular:

Si se trata de un vértice, o si es una línea de flujo límite C o D, los puntos exteriores no tienen valor pero a los fines del cálculo se adoptan con igual valor que los correspondientes interiores. Se logra así que el campo cumpla las condiciones de borde.

Con el residuo se corrige el potencial en el punto, y esta operación se repite hasta que los residuos sean suficientemente pequeños, es decir los potenciales entre dos iteraciones no cambien más.

(31)

Un proceso de cálculo es determinar todos los residuos y luego todos los potenciales se corrigen.

También se propone el proceso de corregir el potencial en un punto inmediatamente de calculado el residuo en ese punto, además eventualmente es conveniente usar un coeficiente a de aceleración (o frenado)

Se obtienen así por aproximaciones sucesivas los potenciales en todos los puntos que son de interés, este método es denominado de relajación.

Debe observarse que los valores o condiciones en el contorno, frontera, del área estudiada definen el resultado que el programa finalmente entrega.

Lo dicho vale para campo bidimensional plano en coordenadas rectangulares.

El campo puede ser con eje de rotación (simetría cilíndrica), se trata entonces de estudiar una cuña, cuerpo de simetría alrededor de un eje y, debe definirse el radio R₀ entre el eje y el borde del área de estudio medido en unidades de la cuadrícula.

Para este caso el potencial debe satisfacer:

El método es igual, pero se determina un factor de corrección por el campo cilíndrico (que es nulo si se trata de campo plano) y se suma al residuo antes presentado:

(32)

Obsérvese que con R₀ muy grande este factor de corrección se hace insignificante, el campo se convierte en plano.

Cuando el eje de rotación está incluido en el área estudiada (esto es válido si se fija R₀ = 0, o muy pequeño) las fórmulas indicadas para determinar el residuo y la ulterior aproximación de V(i, j) no son aplicables a los puntos del eje.

Para este caso particular es nulo pero desarrollado en serie de Taylor puede demostrarse que y la condición que deben cumplir los valores de V es:

lo que permite determinar la ulterior aproximación de V(i, j).

Recordemos la ecuación de Poisson (ver ecuación 29), para algunos puntos internos al área en estudio que llamamos tipo J (en lugar de I) se tiene el valor de r que es dato (carga eléctrica distribuida en el espacio).

El método de cálculo numérico expuesto antes debe incluir una ulterior corrección, al valor del residuo se debe sumar para los puntos J un término adicional PP:

Esta corrección supone que la carga esta distribuida en una celda, un cuadrado comprendido entre cuatro puntos, es decir al menos se deben tener cuatro puntos próximos de tipo J.

Si hay carga en todo el espacio el punto J estará rodeado por todos puntos J, en este caso:

(33)

Si nos encontramos en un borde de la zona de carga, el punto J estará con solo 3 puntos J vecinos, y entonces:

(34)

Si nos encontramos en un vértice, el punto J estará con solo 2 puntos J vecinos, y entonces:

(35)

Si sólo hay un punto J vecino, el problema está mal planteado, ya quedamos que al menos debíamos tener una celda, rodeada por 4 puntos conteniendo carga eléctrica.

Si los puntos están sobre una única línea, el caso también esta mal planteado, y entrará en crisis en los extremos de la línea donde aparece un solo punto J vecino al extremo.

Observemos que el programa sólo permite resolver el caso de que la carga distribuida tenga un único valor en todos los puntos en que se la considera, esta es una restricción para no tener que informar demasiados datos al programa, pero se puede modificar el programa, o desarrollar otro, para casos más complejos (si efectivamente fuera necesario).

Hemos visto la fuerza que se presenta sobre una carga de prueba introducida en un campo eléctrico:

F = q . E (36)

y si la carga es libre de moverse sufrirá una aceleración, pero finalmente si hay más cargas chocará con las otras y se moverá con cierta velocidad media observándose cierta densidad de corriente J.

Si el medio en que se presenta el campo eléctrico es conductor, esto es lo que ocurre. Recordemos ahora la ley de Ohm

Esta ley está dada en forma macroscópica, se supone que R es independiente de I, lo que es válido en la generalidad de los casos, problema lineal.

A partir de la fórmula 37 y aplicándola a superficies y longitudes infinitesimales surge la ley de Ohm en un punto (microscópica) es:

J = s . E (38)

s es la conductividad del material, supuesto isotrópico y lineal (inversa de la resistividad)

J densidad de corriente

Las líneas de campo y de corriente tienen igual representación, tubos de corriente como los tubos de flujo, y superficies equipotenciales normales.

Las corrientes eléctricas distribuidas en un espacio tridimensional según una repartición, en régimen constituyen los campos de corriente estáticos.

La divergencia de J es la continuidad de la corriente, en estado estacionario:

Divergencia J = 0 (39)

En estado no estacionario (debe haber una fuente de corriente):

Divergencia J = - (40)

También esta es una relación de continuidad que muestra la conservación de la carga, la derivada de r respecto de t es la corriente que se inyecta en un punto o área del campo en estudio.

Análogamente al campo eléctrico, y sus líneas equipotenciales, con estas relaciones se justifica el campo de corrientes y sus líneas equipotenciales.

Comparemos el campo eléctrico estático, y la corriente estacionaria, a fin de establecer analogías.

El campo eléctrico en un dieléctrico cumple la ecuación 17 que se compara con la 38, ley de Ohm en un punto.

El campo de flujo eléctrico es análogo al de corrientes, la permitividad es análoga a la conductividad, equipotenciales y líneas de campo eléctrico se corresponden en ambos problemas, compárese la divergencia del campo eléctrico ecuación 28 con la divergencia de J en estado estacionario ecuación 40.

Ahora se observa que la carga distribuida en el campo eléctrico, es análoga a la corriente inyectada en el campo de corrientes y a la ecuación de Poisson para el campo eléctrico, ecuación 29, corresponde la ecuación del campo de corrientes:

(41)

La ecuación de Laplace, para la tensión es válida en ambos campos cumpliéndose la 30.

Se resuelven ambos problemas con un mismo método, la analogía entre ambos problemas es inmediata, la resolución del campo electrostático con la obtención de las equipotenciales (superficies o líneas de nivel) resuelve el campo de corrientes (que es ortogonal).

En el estudio del campo eléctrico se ha introducido el concepto de celdas de campo, capacitores elementales, ver ecuación 26.

Introduzcamos por analogía para el campo de corrientes la celda conductora elemental de conductancia:

(42)

Si la geometría es cuadrada la ecuación 27 se transforma en la análoga:

g₁ / d = s (43)

Se establece una relación entre el campo de corrientes y el campo eléctrico, el potencial en el campo de corrientes es más fácil de medir, y este es el principio de la cuba electrolítica, analogía que hasta la popularización de las computadoras permitió resolver con rigor (y con trabajosa complicación) los problemas de campos.

Deben destacarse algunas diferencias que se observan en la frontera, veamos el caso del campo de corrientes con frontera conductor-aislador.

En el conductor vale la 38, en el aislador (perfecto) resulta:

J = 0 (44)

En la frontera la corriente debe fluir tangencialmente, y por continuidad del campo eléctrico la componente tangencial del campo debe ser igual en ambos medios (conductor y aislador).

Cuando fluye corriente en un conductor, este no es equipotencial hay diferencia de potencial en la dirección de la corriente, en el aislador además del campo tangencial se presenta campo normal (generalmente mucho mayor) aun en la frontera (Fig. A1.13).

Otro ejemplo para estudiar es la frontera entre dos conductores de distinta conductividad (que puede plantearse en analogía con el campo eléctrico) (Fig. A1.14).

E_t1 = E_t2 (45)

Siendo a ₁ y a ₂ los ángulos de incidencia de las líneas de corriente en la frontera, se tiene:

(46)

Lectura recomendada John D. Kraus, Electromagnetismo (Mc Graw Hill) sección 4-16 página 145 - trazado de mapas de corriente y la resistencia de las geometrías simples: celdas de conductor.