Alrededor de un alambre que conduce corriente se presenta un campo magnético, y también alrededor de un imán (circuitos microscópicos), o una barra de hierro magnetizada por un solenoide (circuitos macroscópicos).

Entre un imán y un solenoide se nota cierta equivalencia, y en analogía con el dipolo eléctrico se puede definir un dipolo magnético.

Debe notarse que los polos magnéticos no pueden aislarse como se hace con los polos eléctricos, esta es la diferencia importante.

Sobre un imán puesto en un campo magnético B uniforme se presenta un momento de torsión:

T = Q_m B l sen J

siendo Q_m intensidad polar, B campo magnético, F = Q_m B fuerza, Q_m l momento angular, l longitud del dipolo, teta ángulo entre B y el eje del dipolo.

Se puede lograr una fórmula análoga para un solenoide donde el momento magnético es:

donde N I es la corriente laminar, A el área del solenoide.

El momento de torsión tiende a alinear m con B (Fig. A2.12 Imán de barra (dipolo magnético), espira de corriente y solenoide en un campo uniforme), este momento puede medirse sumergiendo el objeto magnético B y midiendo la torsión (no es necesario llegar a determinar Q_m y l).

Recordemos el concepto de permeabilidad relativa que es la relación entre la permeabilidad del material magnético y la del vacío.

Son valores característicos de la permeabilidad relativa de los materiales ferromagnéticos: 2000 para el acero, 5000 para el hierro y 7000 para el hierro silicio.

La permeabilidad relativa de las substancias ferromagnéticas es variable y presenta un valor máximo, nótese que la permeabilidad relativa depende del campo aplicado, el máximo se presenta para distintos materiales para distinto valor de campo.

Se puede observar la equivalencia entre una barra uniformemente magnetizada y un solenoide (Fig. A2.13 (a) Varilla uniformemente magnetizada (b) solenoide equivalente).

En el centro del solenoide

siendo K la densidad de corriente pelicular.

En el centro de la barra:

siendo K’ la densidad de corriente pelicular equivalente.

A los vectores magnéticos B y H se ha agregado M que también tiene la dirección de B.

Considérese un toroide de aire de área A, radio R, N₀ vueltas:

poniendo el mismo devanado sobre un anillo de hierro B aumenta, si en lugar del anillo de hierro queremos conseguir lo mismo deberemos poner N_m espiras (Fig. A2.14 Toroide con N0 vueltas que produce B0 y Nm vueltas que produce Bm) de manera que:

Entonces:

En medios isotrópicos M y H tienen la misma dirección, como Ñ B = 0 resulta Ñ H = -Ñ M, la lectura de esto es que el campo H inicia donde termina M y viceversa.

Rotor B = m ₀ rotor H + m ₀ rotor M

Rotor B = m ₀ (J + J’)

siendo:

J densidad real de corriente

J’ densidad equivalente en la superficie de la barra magnetizada.

En la frontera entre medios m ₁ y m ₂ las componentes tangenciales de H son las mismas a ambos lados de la frontera

El campo magnético tangencial es continuo a lo largo de la frontera entre dos medios.

Puede existir un campo finito en la frontera se presenta una película de corriente en la superficie de discontinuidad, en este caso:

siendo K densidad lineal de corriente que fluye en una lámina infinitesimal (delgada) en la superficie.

Por otra parte:

Siendo a ₁ y a ₂ los ángulos de incidencia del campo en la frontera (Fig. A2.15 Frontera entre dos medios de diferente permeabilidad), se tiene:

Con estas reglas se observa como se quiebran las líneas de campo al pasar de un medio a otro, entre hierro y aire la relación es 7000, si a ₁ es cero también lo es a ₂, la línea de campo perpendicular no se quiebra, pero si a ₁ es sólo 0,1 grado a ₂ es 85 grados, casi 90, (Fig. A2.16 Líneas B en frontera aire-hierro) esta es una diferencia muy apreciable respecto de las condiciones reales de los campos eléctricos y de corriente análogos.

La lámina de corriente permite eliminar uno de los medios, haciendo:

y el estudio se concentra sólo en el medio 1 considerando K₂.

El circuito eléctrico tiene analogía con el circuito magnético, veámosla:

siendo:

la reluctancia total

F_T la fuerza magnetomotriz total

Y _m el flujo en el circuito magnético

El recíproco de la reluctancia es la permeancia:

El campo puede dividirse en elementos de permeancia:

la analogía con G conductancia, y también con L y C es inmediata.

Lecturas recomendadas John D. Kraus, Electromagnetismo (Mc Graw Hill) sección 6-19 página 281 - trazado de mapas de campos magnéticos; celdas de campos magnéticos; 6-20 página 286 - comparación de mapas de campo en los casos eléctrico, magnético y de corriente.

Un circuito magnético con entrehierro requiere una cierta fuerza magnetomotriz para que aparezca cierta densidad de flujo en el hierro f y en el entrehierro e.

siendo H el campo y l la longitud.

B_f = H_f m _f

B_e = H_e m ₀

si el entrehierro es pequeño las áreas en las que se presenta el flujo son iguales, pero si el entrehierro es grande el efecto de bordes incrementa el área del mismo.

B_f Area_f = B_e area_e

Lectura recomendada John D. Kraus, Electromagnetismo (Mc Graw Hill) sección 6-26 página 297 - Comparación de campos estáticos eléctricos y magnéticos.

Es necesario evaluar los campos que aparecen en los objetos de estudio, .es necesario trazar mapas con líneas de campo y equipotenciales que proporcionan información.

Los mapas de campo son soluciones de la ecuación de Laplace, se da la condición de unicidad, la solución de la ecuación de Laplace es única.

El planteo general del problema esta dado por la ecuación de Laplace, en algunos casos por la de Poisson, y por los valores de frontera.

En el pasado estos problemas se resolvían con modelos analógicos, cuba electrolítica, papel de resistencia, red de resistores.

El método de cálculo numérico se ha explicado ligado al programa "POTRES", el método propuesto que es iterativo (relajación) es demostrable a partir de la ecuación diferencial escrita en diferencias finitas.

La ecuación de Laplace se plantea para campos planos, para coordenadas cilíndricas y para coordenadas esféricas, algunos modelos analógicos fracasan, o su construcción se dificulta mucho.

En algunos casos se dan condiciones que asocian la solución de un problema con dos medios a forzar condiciones de simetría, a través de la construcción de una imagen del campo.

Lectura recomendada John D. Kraus, Electromagnetismo (Mc Graw Hill) sección 7-14 página 338 - teoría de imágenes.

Ya se ha planteado el caso de una línea infinita de un solo conductor, cargada, sobre un plano metálico, que se estudia como bifilar.

Efectivamente si entre las dos cargas de la línea bifilar se introduce un plano metálico, y luego se quita una carga, nada cambia.

Otro problema es un conductor con corriente sobre un plano metálico que también se resuelve por el método de las imágenes como una línea bifiliar.

El método de las imágenes fue desarrollado por Lord Kelvin, sucesivamente lo vemos aplicado a campos eléctricos estáticos, campos de corrientes y a campos magnéticos producidos por imanes, y por corrientes que circulan en conductores, destacando particularidades que distinguen este último caso.

Este método permite encontrar el campo eléctrico de una carga ubicada al lado de una superficie plana conductora.

La superficie conductora (Fig. A2.17) de potencial nulo, produce una carga reflejada (imagen) igual y de signo contrario.

Entre las dos cargas (real e imagen) el plano medio es de simetría y resulta ser un plano equipotencial como requiere la física.

Sobre este plano conductor (metálico) aparece carga inducida por influencia de la carga real.

Una carga entre dos planos conductores paralelos plantea el caso de reflexiones múltiples, como cuando nos encontramos entre dos espejos paralelos.

La solución que se obtiene es válida dentro del espacio entre los planos, la cantidad de imágenes es infinita, pero en la aplicación se limita el número de imágenes consideradas.

Otro problema que se resuelve con este método es el campo que presenta una carga q₁ en un medio e ₁, donde más allá de una superficie plana se tiene un medio e ₂ (Fig. A2.18).

El campo en el medio e ₁ es el producido por la carga q agregando una imagen q₁ = k₁ q, siendo y reemplazando el medio e ₂ por e ₁ .

El campo en el medio e ₂ es producido reemplazando la carga q por q₂ = k₂ q siendo , no hay imagen y se reemplaza el medio e ₁ por e ₂.

Estas propiedades se demuestran satisfaciendo en la superficie límite las condiciones a que obliga la física y que conducen a k₁ + k₂ = 1.

Un ejemplo interesante (Fig. A2.19) propuesta en la bibliografía es una pared metálica, un dieléctrico e ₂ hasta cierta altura, y arriba otro e ₁, en este último una carga q.

Para resolverlo primero se elimina la pared metálica, aparecen la imagen -q.

Luego se resuelve el problema entre los dos dieléctricos con el dipolo (q, -q) en e ₁.

Obsérvese que k₁ puede tener signo positivo e ₁ > e ₂ o negativo en caso contrario.

Según la ley de Culomb el medio conductor (donde E = 0) es equivalente a e ₂ tendiendo a infinito, k₁ = 1 y se produce la reflexión.

Para los problemas de campos de corriente la analogía es inmediata.

Una aplicación interesante para observar es la dispersión de corriente en el suelo de cierta resistividad, considerando la superficie límite suelo aire como superficie de reflexión.

Por las características no homogéneas del suelo a veces se hace la hipótesis de considerar una capa superior de cierto espesor y resistividad y debajo un suelo de otra resistividad (mayor o menor).

Este es un complejo caso de reflexiones múltiples con factores que dependen de las resistividades (conductibilidades) de las capas.

El mismo método se aplica para resolver el campo magnético.

Un medio (aire) de permeabilidad m ₁ y un medio m ₂ , si en el medio m ₁ se encuentra una barra imantada, se aplica el método de las imágenes reflejadas con analogía a lo que se hace para el campo eléctrico, y .

Cuando en el medio en lugar de un imán se encuentra un conductor los factores son distintos de los considerados para las barras imantadas, y exactamente y pero el método es el mismo.

Esta diferencia se confirma controlando que se cumplen las condiciones de límites, y la razón de la diferencia se explica reemplazando el imán por un solenoide y observando la corriente.

Analícese la presencia de un conductor con corriente I próximo a una superficie que separa aire y hierro al considerarse el conductor imagen puede encontrarse la fuerza de atracción entre conductor y hierro.

Cuando en lugar de un semiespacio de hierro se tiene una chapa de cierto espesor se presentan reflexiones múltiples del conductor, y a cada imagen corresponde un factor.

También se produce este efecto cuando se tiene una capa de aire entre dos cuerpos (muy grandes) de hierro, las reflexiones múltiples en este caso como ya comentamos son totalmente análogas a observarse entre dos espejos paralelos, cada imagen con su correspondiente factor (signo y valor).

Para razonar obsérvese (Fig. A2.20) que la superficie a crea la imagen b¢ de b y la a¢ ¢ de a¢ y así siguiendo.

El conductor 1 tiene su imagen 1a debido a a y 1b debido a b.

La imagen de 1a debida a b aparece en 1ab, y sucesivamente otras imágenes.

Viendo esto en forma más simplificada (pero correcta) alrededor de cada imagen a se tienen el conductor 1 y su imagen 1a.

A cada imagen corresponde además un factor (Fig. A2. 21) que depende de la multiplicidad de la imagen y del área en la que se quiere estudiar el campo.

Al examinar la zona de aire (con permeabilidad 1), y supuesto m infinito k₁ = 1, por lo que conductor e imágenes todos son con igual corriente (en el mismo sentido).

Se examinamos la zona de hierro se observa que se anulan las imágenes ya que k₂ = 0.

Se propone analizar el problema de un conductor sumergido en una chapa de hierro para este caso las imágenes son las mismas pero los factores cambian y .

Al examinar la zona de hierro algunas imágenes corresponden a corrientes de distinto sentido (Fig. A2.22).

Al examinar la zona de aire el factor para la corriente en la chapa es 2.

Los campos eléctricos y magnéticos cumplen las ecuaciones de Maxwell, que son simples de enunciar pero son bastante complejas de comprender, ellas relacionan magnitudes eléctricas y magnéticas.

A partir de la ley de Ampere:

a partir de la ley de Faraday:

a partir de la ley de Gauss:

Hay además otras relaciones fundamentales, la ley de Ohm:

la relación de continuidad:

las relaciones de fuerzas:

F = Q E dF = I ´ B dl

las relaciones constituyentes:

D = e E = e ₀ E + P B = m H = m ₀ (H+M)

Estas relaciones se simplifican al aplicarlas al espacio libre de corriente y de densidad de carga J = 0 , r = 0.

En el estudio de las máquinas eléctricas se adoptan simplificaciones, las derivadas respecto al tiempo se consideran nulas, el campo entonces es electrostático, o magnetoestático.