17 - RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMPLEJOS
ing. Alfredo Rifaldi - ing. Norberto I. Sirabonian
DETERMINACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO SOBRE LOS CONDUCTORES
En general este problema se resuelve con fórmulas simplificadas, e hipótesis discutibles.
Si se hace referencia al problema 14.6, y se analiza la metodología propuesta se nota que:
- Se tiene en cuenta la influencia del suelo.
- Se consideran los conductores rectilíneos e indefinidos, paralelos entre sí y al suelo.
Como resultado se obtiene un único valor del campo eléctrico, no considerándose que el mismo es distinto para cada conductor por su diferente posición relativa.
Por otra parte existen otros elementos, como ser los cables de guardia, que también afectan el campo eléctrico sobre los conductores.
Siguiendo la propuesta de la referencia se puede utilizar el siguiente método de cálculo.
Referencia: Perturbations engendres par l'effet de couronne des reseaux de transport - CIGRE 1974.
Sea A la matriz de los coeficientes de potencial, cuya dimensión es NC + NG (cuadrada y simétrica), donde NC es el número de conductores (o haces) y NG el número de cables de guardia.
Los elementos de la matriz A se obtienen de la siguiente fórmula:
A(I,J) = (1/2*PI*E0) * log (DIJ1 / DIJ)
siendo PI = 3.141592, E0 la constante dieléctrica del vacío, log el logaritmo natural, DIJ la distancia entre conductores I y J, DIJ1 la distancia entre conductor I y la imagen del J tomando la tierra como superficie de reflexión.
Los elementos de la diagonal principal de la matriz A corresponden a cada conductor y resultan:
A(I,I) = (1/2*PI*E0) * log (2 * HI / REQI)
siendo HI la altura del conductor I sobre el suelo, y REQI el radio equivalente del conductor I
REQI = RHAZ * (N * DC / (2 * RHAZ))^(1/N)
donde RHAZ es el radio del haz, N el número de subconductores, DC el diámetro del subconductor.
Cuando se trata de conductor único se tiene:
REQI = DC / 2
Y con estos conceptos se logra armar la matriz A.
La relación entre el potencial y la carga eléctrica esta dada por:
V = A * Q
siendo V la matriz columna de los potenciales de los conductores, y Q la matriz de las cargas eléctricas.
Los cables de guardia conectados a tierra tienen impuesta una tensión nula.
Se dividen las matrices V y Q en dos partes, separando conductores y cables de guardia.
La tensión que asumen los conductores respecto de la tierra es conocida, y varía senoidalmente en el tiempo, los cables de guardia como dicho tienen tensión 0.
Resolviendo el sistema de ecuaciones se puede determinar Qc:
Qc = (A1 - A2 * A4^(-1) * A3)^(-1) * Vc
Se invierte la submatriz A4 que corresponde a los cables de guardia, se hacen las operaciones indicadas, y para cada conductor y cada instante se encuentra la carga eléctrica.
Conocida la carga se determina el campo eléctrico Emed:
Emed = (1/2*PI*E0) * 2 Qc / (N * Dc)
Cuando se tiene un haz, el campo eléctrico sobre el conductor tiene un máximo y un mínimo que se apartan de este valor medio en AU:
AU = (N - 1) * DC / (2 * Rhaz)
Con estos conceptos se desarrollo un programa de computadora que determina precisamente el campo eléctrico superficial de los conductores.
Se han analizado una serie de configuraciones que corresponden a distintas condiciones y partes de una posible instalación.
Los casos incluyen y excluyen cables de guardia, consideran un único campo de equipamiento de estación, y hasta cuatro adyacentes, y consideran también un caso con dos niveles superpuestos de conductores.
Los resultados se sintetizan indicando:
- Campo eléctrico medio, de todos los conductores.
- Factor que determina el campo máximo y mínimo, para los conductores correspondientes.
De la observación de los resultados se extrae la conclusión inmediata de que los cálculos simplificados son aceptablemente correctos.
DISTRIBUCIÓN DE CORRIENTE ENTRE RED DE TIERRA Y OTROS DISPERSORES
La red de tierra de una estación eléctrica está unida metálicamente a los cables de guardia de las líneas, y/o a las armaduras metálicas de los cables, o los cables de tierra que los acompañan.
La determinación de la tensión que asume una red de tierra, requiere evaluar con relativa precisión la corriente efectivamente drenada por la red de tierra separándola de las corrientes que son drenadas por otros elementos.
Cada línea (o cable) aporta cierta corriente de falla, que eventualmente puede ser nula, y cada cable de guardia (o cable de tierra o armadura metálica) drena una parte de la corriente de falla.
Para encontrar el valor de la corriente drenada por el cable de guardia, y la drenada por la red de tierra, se plantea y resuelve un adecuado sistema de ecuaciones.
En este trabajo se comenta la resolución de este problema haciendo referencia a algunos ejemplos particulares.
El comportamiento de una línea que aporta corriente puede analizarse en base a criterios desarrollados por Carson.
La línea aérea puede ser sin cable de guardia, aunque en alta tensión lo normal es que éstas líneas tengan cable de guardia.
Un trozo de línea aérea puede ser considerada como un elemento de seis terminales que corresponden a conductor, cable de guardia, y tierra (conductor equivalente).
En rigor el modelo de la línea debe ser perfeccionado teniendo en cuenta la conexión entre cable de guardia, y tierra, que corresponde a la puesta a tierra de cada torre.
La figura 17.1 muestra los parámetros de un tramo de línea aérea de un vano de longitud.
La figura 17.2 muestra las dimensiones geométricas que influyen en los valores de los parámetros.
La figura 17.3 muestra el circuito elemental equivalente de una línea que aporta corriente de falla, y para la que el cable de guardia drena una parte de dicha corriente.
Este circuito permite determinar una ecuación en la que se tienen incógnitas la tensión entre cable de guardia y tierra y la corriente que circula en el cable de guardia.
Cuando varias líneas aportan corriente de falla, para cada línea se puede determinar una ecuación de este tipo.
La figura 17.4 muestra el circuito de una línea que no aporta corriente de falla, al no haber corriente en los conductores de fase el circuito se simplifica, puede determinarse una impedancia equivalente de la línea pasiva Zl.
La corriente Igl se reduce a medida que el vano es más distante de la estación, llegando finalmente a anularse (en función del valor de 8).
Al analizar la corriente Ig1 en el caso de líneas activas (en las que hay corriente I1 en el conductor de fase) se observa un aumento de la corriente en ambos extremos de la línea, punto de inyección de la corriente y punto en que se presenta la falla.
En un punto intermedio de la línea, para el cual la diferencia de tensión es nula, la relación entre corriente I1, y corriente Ig1 es igual a la relación de impedancias, el valor de Ig1 es mínimo.
En los extremos en cambio el valor de la corriente Ig1 es máximo, lo que es favorable desde el punto de vista de la corriente drenada por la red de tierra de la estación. Por otra parte se conoce la corriente total de falla (en rigor el aporte de cada una de las líneas) y una ecuación más está dada por la ley de Kirchhoff aplicada a la estación (corriente total de falla, igual a la que drena la red de tierra de la estación más todos los cables de guardia).
Conocida, o evaluada la resistencia de la red de tierra de la estación, se tiene la relación entre la tensión y corriente que la afectan.
El número de ecuaciones puede reducirse, haciendo reducción de la red, y el problema es de tratamiento más simple.
De todos modos lo importante es que puede determinarse la repartición de corriente, y se conoce el valor de corriente que afecta a cada cable de guardia, a la red de tierra de la estación, pudiendo también determinarse la corriente en juego en cada estructura de soporte.
El comportamiento de un cable es análogo al de una línea aérea, la principal diferencia, cuando se trata de un cable con armadura metálica, esta dada por que dag = GMRg.
La figura 17.5 muestra la esquematización de un cable con armadura metálica, y las fórmulas que corresponden.
La longitud del tramo de línea, ha perdido el sentido, el cable está conectado con continuidad a la tierra, se pueden utilizar los parámetros por unidad de longitud y determinar valores análogos a los que corresponden a la línea aérea.
La resistencia de puesta a tierra del cable, por unidad de longitud puede evaluarse en base a la figura 17.6 obteniéndose un orden de magnitud de su valor, útil para determinar en particular el valor del exponente.
POTENCIAL EN DISTINTOS PUNTOS DEL SUELO
Determinación del potencial en distintos puntos del suelo debido a una red de tierra que drena corriente.
En general este problema se resuelve con fórmulas simples que dan resultados orientativos.
Si se hace referencia al problema 14.16 se observa la simplicidad de los cálculos.
Las dudas respecto de los resultados solo pueden disiparse con un mejor modelo.
En el pasado se construían modelos de la red de tierra que se estudiaban en cuba electrolítica, obteniéndose resultados satisfactorios.
Con la red construida debieran hacerse oportunas verificaciones que resultan casi imposibles cuando la instalación se encuentra bajo tensión.
En los últimos años, desde 1975 aproximadamente se han propuesto soluciones al problema enunciado basadas en cálculo numérico.
Se supone que la resistividad del terreno es constante, el terreno es homogéneo en todas direcciones.
Es válido el principio de las imágenes, es decir la superficie de la tierra produce una imagen especular del subsuelo, y se determina el campo eléctrico debido a la red real y a su imagen, ambas drenan la misma corriente.
Es válida la fórmula aproximada que permite determinar el potencial en un punto P del espacio debido a una barra que drena la corriente IB, cuya longitud es LB.
V = (rho / 4 Pi) * (IB / LB) log (ALFA)
Donde el significado de ALFA se observa en la figura 17.7.
Partiendo de esta fórmula se pueden hacer los siguientes razonamientos y cálculos correspondientes.
- Se determinan todas las barras que forman la red de tierra.
- Se subdividen las barras en elementos que se juzgan convenientes, de longitud LB.
- Para cada punto del terreno en el que se desea determinar el potencial, se determina el valor que corresponde debido a cada barra elemental.
- Para hacer esto, para cada barra elemental se determinan las coordenadas X, Y que ubican el punto en estudio, y permiten calcular el potencial en el punto debido al elemento.
- El potencial total en el punto se obtiene por superposición, sumando la contribución de todas las barras.
- Se repiten estos cálculos para todos los puntos que son de interés en la superficie del terreno.
Debe notarse que el cálculo depende de IB / LB es decir la corriente drenada por unidad de longitud del elemento, en principio se la supone igual para todos los elementos, e igual al valor medio.
El método puede aplicarse para calcular el potencial sobre los conductores de la red real, determinando para cada elemento el potencial propio y el potencial debido a todos los restantes elementos.
Si se completa este trabajo se observa que el potencial de los distintos elementos de la red difiere.
En rigor cada elemento drena una corriente que depende de los demás elementos, por lo que el potencial de los elementos de la red debe plantearse como:
VE = A * IE
donde VE es la matriz que da las tensiones de todos los elementos, y que es una matriz columna con todos sus elementos iguales, ya que la red metálica tiene un único potencial.
A es la matriz que da los coeficientes de potencial de todos los elementos, matriz cuadrada que tiene tantas filas y columnas como elementos.
IE matriz incógnita, columna que contiene la corriente de todos los elementos, y cuya suma es la corriente total drenada por la red.
Invirtiendo la matriz A, se encuentran los valores correspondientes de IE, o eventualmente coeficientes que permiten saber cuanto se aparta del valor medio la corriente drenada por cada elemento.
Al determinar los elementos de la matriz A, se debe tener en cuenta el elemento real y su imagen en cada caso.
Lo explicado obliga a invertir una matriz A de tamaño importante, un resultado análogo puede lograrse aplicando un método de relajación.
Se determina el potencial de todas las barras elementales utilizando la corriente media por unidad de longitud.
Con los resultados de tensiones (distintas) de todos los elementos se determina la tensión media.
Con la tensión de cada elemento, y la tensión media se determina un coeficiente de corriente que permite corregir la corriente por unidad de longitud que corresponde a cada barra, lográndose una primera aproximación de la distribución de corriente, y corriente en cada elemento.
Esta tarea puede repetirse mejorando sucesivamente los resultados.
Con estos conceptos se desarrollaron programas de computadora que determinan:
- los elementos de la red y sus imágenes.
- los coeficientes de corrientes.
- el potencial a lo largo de un camino, o en una superficie, y en consecuencia el potencial de contacto o transferido (ver equipotenciales de 1/4 de la red, figura 17.8, y detalle en zona de la diagonal, figura 17.9).
- las diferencias de potencial entre dos puntos divididas por la distancia que pemiten evaluar la tensión de paso.
El cálculo suministra también como resultados:
- la resistencia de la red.
- la tensión total de red.
- la longitud total de barras.
Las dificultades de desarrollo del programa se presentan para aplicar las fórmulas cuando el punto en el que se determina el potencial esta próximo al origen de la barra.
Otra dificultad se plantea cuando el punto es lejano.
Son problemas numéricos que requieren profundizar el estudio del modelo.
También se puede complicar el modelo suponiendo la tierra formada por dos capas de distinta resistividad, y aplicando el método de las imágenes con los adecuados factores de reflexión y refracción.
De todos modos los resultados que pueden obtenerse son solo indicativos, ya que las condiciones locales del terreno son de gran importancia cuando se pretende afinar los estudios.
COMENTARIOS.
Se han resuelto distintos casos, como descripto, de grado de complicación creciente.
Las sucesivas soluciones se acercan más y más a la red completa del problema, ver figura 17.10.
El esquema 1 muestra la red formada por solo los elementos cortos.
El esquema 2 completa la red con los elementos en las dos direcciones.
Al subdividirse la red, aumentando el número de elementos, se consigue mejorar la representación del campo.
Para cada representación se indican los factores de repartición de la corriente en cada elemento.
En las figura 17.8, y figura 17.9.se muestran los valores de potencial (en porciento del total de la red) para cada punto cuyas coordenadas se indican en la primera fila y columna.
Todas las redes estudiadas incluyen las mismas áreas, una corresponde al cuadrante que contiene un cuarto de red, y el paso de calculo es de 5 m. Esta sirve para observar los potenciales fuera del área de la red.
En cada caso se han determinado los potenciales con un paso de cálculo de 1 m en la zona que incluye el vértice de la red.
En este último cuadro se deben analizar tensiones de paso y de contacto, siendo esta el área de mayor peligro.
Los cuadros de valores son suficientemente cómodos para que sobre ellos puedan trazarse líneas equipotenciales, particularmente importantes para el buen análisis de los resultados.
