Imaginemos un circuito eléctrico muy simple, un generador, dos conductores, una carga. Los dos conductores constituyen una línea bifilar, si el generador es de corriente alterna se dice que la línea es monofasica.

Cuando por los dos conductores circulan corrientes (en sentido contrario) aparece un campo magnético alrededor de los conductores, y también dentro de ellos.

Puede haber mas conductores, tres por ejemplo o mas, alimentados por un generador trifasico, podemos extender la visión del problema que planteamos generalizándolo.

Un conductor rectilíneo indefinido, en aire, con carga eléctrica distribuida uniformemente en su periferia presenta un flujo radial.

Recordemos que k es la permitividad del material en el que se presenta el campo E, si es aire, o prácticamente vacío k0 = 8.85 E-12 [F / m]

La diferencia de potencial entre dos puntos es entonces:

Ahora resolvamos el problema: un conductor rectilíneo indefinido en el espacio tiene cierta carga, cual es el campo eléctrico a distintas distancias de el, cuanto vale la diferencia de potencial entre dos puntos del espacio.

La capacitancia por unidad de longitud de la línea es:

Siendo q la carga sobre la línea y v la diferencia de potencial entre conductores. Se determina la diferencia de potencial entre los conductores aplicando el principio de superposición:

Siendo qa = - qb, D distancia entre conductores, ra y rb radios de los conductores generalmente iguales, entonces resulta:

Un conductor cilíndrico esta tendido a cierta altura sobre un plano conductor (la tierra), este problema puede resolverse aplicando el método de las imágenes siendo la superficie especular el plano conductor, obsérvese la analogía con el caso de dos conductores anterior.

El método de las imágenes permite entonces determinar la capacitancia de un solo conductor enfrentado a una superficie metálica (conductora):

Siendo Hct la altura del conductor sobre la tierra, observando una línea se nota que el conductor tiene distancia a la tierra variable, ya que esta suspendido de 2 puntos y toma una forma curva (cosenohiperbolico, o aproximadamente una parábola de cierta flecha), la altura media del conductor sobre el terreno esta dada por la altura minina y 1 / 3 de la flecha, o se puede dar en función de la altura de suspensión

Veamos ahora dos conductores en el espacio en presencia de un plano de tierra, aplíquese también el método de las imágenes, y el método de superposición.

Un conjunto de varios conductores representa fases y cables de guarda de una línea, a veces las fases están constituidas por un haz de conductores (2, 3, 4, a medida que la tensión de la línea es mayor), los cables de guarda pueden ser uno solo, o dos, para las líneas reales la presencia de la tierra es obvia.

Podemos generalizar el caso de la línea bifilar, y es útil escribir el sistema de ecuaciones en forma matricial.

En general se conocen las tensiones aplicadas a los conductores, y es de interés determinar la carga (por unidad de longitud) sobre cada conductor, para ello debe invertirse la matriz alfa, obteniéndose beta, que tiene unidades de capacitancia (pero no debe confundirse con la capacitancia)

Determinada la carga se puede encontrar el valor del campo eléctrico sobre los conductores, sobre el suelo, y en un punto cualesquiera del espacio.

Una línea telefónica, o un alambrado paralelos a la línea de alta tensión (también puede tratarse de otra línea), se cargan por las capacitancias mutuas entre conductores.

El cable de guarda esta generalmente conectado a tierra, pero en algunos casos puede ser de interés determinar la tensión que asume el cable de guarda aislado, por efecto de los conductores de fase.

Si hay cables de guarda y estos están conectados a tierra, su potencial es cero, el sistema de ecuaciones puede escribirse asociando conductores - c - y cables de guarda - g - dividiendo la matriz alfa en cuatro submatrices

La tensión de los conductores puede expresarse con un sistema de ecuaciones reducido, que se obtiene despejando la matriz (columna) no nula

siendo

Cuando cada fase es un haz de conductores (conductores múltiples) se los puede considerar individualmente o reunirlos en un conductor equivalente (único)

Escribiendo en forma explícita la relación entre cargas y potenciales:

Si relacionamos los conductores con capacitores que representan las capacitancias parciales entre pares de conductores y entre cada conductor y tierra, y ponemos a tierra todos los conductores excluido uno resulta:

Si escribimos las ecuaciones que corresponden al modelo con capacitores, el sistema de ecuaciones toma la forma:

Desarrollando y reemplazando aparece el valor de beta11 que se ha medido, por comparación se tiene que

Recordemos lo dicho antes, beta no debe confundirse con la capacitancia, aunque sus unidades son de capacitancia.

La causa de las perdidas (de potencia) de las líneas de transmisión es la resistencia efectiva de los conductores, que se determina a partir precisamente de las perdidas:

La resistencia de un conductor homogéneo a la corriente continua y a la temperatura de referencia (20 grados C) esta dada por:

La resistencia aumenta con la temperatura, cuando un conductor transporta corriente, las perdidas son causa del incremento de temperatura sobre el ambiente (se debe disipar el calor de las perdidas).

La corrección del efecto pelicular (skin), y teniendo en cuenta el numero de subconductores del haz

El valor kskin surge del calculo del efecto pelicular, se determina un valor auxiliar:

y el valor que se calcula es:

El valor de resistencia así determinado R2 quizás no coincide con la Resistencia efectiva, también se inducen corrientes en los cables de guarda (como veremos) y todo es como si estas perdidas atribuidas a los conductores incrementaran aun mas su resistencia.

Los conductores pueden ser de material homogéneo (cobre, aluminio, aleación de aluminio) o heterogéneos (aluminio con alma de acero, aleación de aluminio con alma de acero, aluminio con alma de aleación, alambres de acero con una capa de cobre o de aluminio – copperveld, alumnoweld).

Pensemos en un conductor que transmite corriente alterna, y el camino de retorno es la tierra de cierta resistividad uniforme (constante).

El retorno puede simularse como un conductor equivalente de resistencia:

Este resultado no depende de la resitividad de la tierra, sino solo de la frecuencia, esto a primera vista puede sorprender, pero es justificado por los modelos que se han desarrollado del comportamiento de la tierra como conductor, esta formula es valida para frecuencias del orden de 50 Hz.

Este tema debe ser estudiado conjuntamente con la inductancia del lazo de un conductor con el retorno por la tierra.

Alrededor de un conductor que transporta corriente se tiene cierto campo magnético, que se reduce al aumentar la distancia al conductor.

Las líneas de campo son circunferencias concéntricas al conductor, de radio R, dentro del conductor también hay campo, hágase un circulo de radio r dentro del conductor, la corriente dentro del circulo esta dada por la densidad de corriente multiplicada por la superficie, el campo se determina con:

Observemos, el campo dentro del conductor crece, el máximo se presenta en la superficie del conductor, luego decrece hiperbólicamente.

Siendo mu la permeabilidad, que para el aire, o conductor (no hierro) es mu = 4 * PI * 1.E-7 H/m.

El flujo se determina en la siguiente forma:

El flujo desde la superficie del conductor hasta el punto x, externo al conductor es:

Para determinar el flujo interno es necesario tener en cuenta los enlaces, flujo concatenado:

El flujo concatenado total hasta la distancia x del conductor es:

Se ha introducido el concepto de radio equivalente, y es como si todo el flujo fuera exterior al conductor de radio equivalente (el modelo del conductor ahora es un tubo, de espesor infinitesimo, donde se concentra la corriente y cuyo radio es el equivalente)

Se ha supuesto que la distribución de corriente en el conductor sea uniforme, la corrección por efecto pelicular que se ha planteado para la resistencia debe hacerse análogamente, y afecta las iductancias con una pequeña reducción adicional, como si el radio equivalente aumentara ligeramente. Esta corrección es despreciable a frecuencias normales en los sistemas de potencia, pero a frecuencias muy elevadas hace que el radio equivalente se confunda con el radio del conductor.

Hasta aquí se ha pensado en un conductor como un cilindro macizo, pero en general los conductores están realizados con un haz de alambres cableados en sucesivas capas, situación que también influye en la distribución de corriente afectando el radio equivalente.

La inductancia se determina como relación entre le flujo concatenado y la corriente. El flujo como dicho se presenta tanto fuera del conductor como dentro del mismo.

La formula muestra la inductancia debida al flujo entre las distancias D1 y D2 fuera del conductor, si se hace D1 = Req será el flujo comprendido entre el eje del conductor y la distancia D2.

Un conductor es el retorno del otro, el flujo que debe tenerse en cuenta, es entre cada conductor y la distancia al otro D, la inductancia del circuito es:

Nótese que la corriente en el conductor 2 es contraria a la del conductor 1, por lo que los enlaces de flujo están en la misma dirección. Si los radios de ambos conductores son iguales se tiene:

La mitad de la inductancia total es la inductancia por cada conductor

Comencemos con una analogía con el campo eléctrico, supongamos que la tierra en infinitamente conductora (hipótesis falsa pero que por ahora aceptamos), un material conductor ideal, inmediatamente se observa que el campo magnético sobre la superficie de la tierra solo tiene componente tangente a la superficie de la tierra, no existe componente normal del campo a la superficie de la tierra.

Mientras que para el campo eléctrico el modelo de las imágenes es valido con la tierra real, para el campo magnético cuando la resistividad crece la superficie de reflexión se aleja de la superficie de la tierra profundizándose.

El valor de deqr es función de resistividad y frecuencia (formula aproximada valida para frecuencia del orden de 50 Hz)

A medida que la frecuencia aumenta, la inductancia varia a consecuencia de la variación de deqr, si la resistividad de la tierra se hace muy baja, y la frecuencia es alta la distancia se hace mínima, en el limite se toma deqr = 2 * Hct

Un conjunto de N conductores, la suma de las corrientes es cero, tomamos un punto p como referencia para plantear las ecuaciones de los enlaces de flujo:

Separando los términos de cada logaritmo

Reemplazando el valor de IN del ultimo termino y asociando los valores de distancias a p, correspondientes de cada corriente:

El limite para el punto p alejándose al infinito

Varios conductores con retorno por tierra, la corriente de retorno es la suma de las corrientes de los conductores, cada conductor tiene una imagen en la tierra, a una profundidad

La corriente en la tierra corresponde a la suma de todas las corrientes en conductores

Supongamos que se trata de solo 2 conductores, con las correspondientes imágenes a la distancia 2 * Hct

La distancia d es entre los dos conductores reales, la distancia D (mayor) es entre un conductor real y la imagen de otro, los coeficientes se denominan coeficientes de campo.

Para una dada resistividad del terreno se tiene que reemplazar 2 * Hit por deqr, que al ser mucho mayor que Hit presenta un valor único, cualquiera sea la distancia Hit, los valores de Dijimagen también son iguales a deqr por la misma razón. La matriz de coeficientes de campo resulta entonces

Los términos de la diagonal son los propios, los fuera de la diagonal son los mutuos. Con los coeficientes de campo se determina la matriz de inductancias.

La impedancia de los circuitos formados por varios conductores y la tierra fue estudiada y analizada en Europa por Ruthemberg, Mayr y Pollaczek, y en Esados Unidos por Carson, y Campbell. El método de Carson que puede ser seleccionado para aplicarlo al caso que nos interesa, ofrece dos posibilidades, la aproximada, generalmente satisfactoria, y la exacta mas complicada.

La matiz de impedancias puede representarse de la siguiente manera:

El método aproximado sugiere los siguientes valores:

La matriz de impedancias se utiliza para determinar las caídas de tensión en los conductores.

Para cerrar este tema señalemos que, para profundizar el método de Carson exacto se puede consultar el libro de Fuchs.

Análogamente a lo planteado para la capacitancia, también para las impedancias es posible reducir la relación entre caídas de tensión y corrientes, considerando solo los conductores y excluyendo los cables de guarda que están puestos a tierra en todas las torres y presentan una caída de tensión nula.

La caída en los conductores puede expresarse con un sistema de ecuaciones reducido, que se obtiene despejando la matriz (columna) no nula

siendo

En algunos casos los cables de guarda se encuentran aislados, y entonces en el primer sistema de ecuaciones se debe considerar que [Ig] = 0 resultando:

Supongamos que se tienen varios conductores que forman un haz, la corriente se divide entre todos ellos, el flujo total resulta

considerando que la corriente se reparte uniformemente en los distintos conductores

La corriente resulta factor común

se introduce el concepto de radio medio geométrico, raíz N del producto de las interdistancias entre conductores y el radio

En forma similar se puede introducir el concepto de distancia media geometrica entre varios conductores

Estos valores son utilizados para presentar formulas aproximadas utilizadas con frecuencia y que entregan valores medios con buenos resultados.

Hemos visto conductores desnudos tendidos en aire, en baja y media tensión también se usan conductores con una fina capa de material aislante cuya función no es aislar, sino evitar que las los accidentes puedan ser fallas francas.

Para baja tensión salvo necesidades especiales los cables son sin pantalla.

La capacitancia de los cables sin pantalla depende de la geometría, de la disposición de los conductores respecto de los otros y de las superficies que están a tierra, y que no se pueden definir a priori, afortunadamente este parámetro para las instalaciones de baja tensión en general tiene muy poca importancia.

Para los cables con pantalla, usados en tensiones mas elevadas la capacitancia es claramente calculable se trata de un capacitor cilíndrico, con dieléctrico epsilonr, r radio del conductor y R radio de la pantalla sobre el aislante.

El factor G es llamado factor geométrico.

Cuando cada conductor tiene su pantalla solo hay capacitancias hacia tierra, no hay capacitancias mutuas entre los distintos conductores.

En media tensión también se fabrican cables con una única pantalla para todos los conductores, la capacitancia es más difícil de determinar.

La formula aplicable a cables bipolares n = 2 es

La inductancia y la reactancia inductiva para cables sin pantallas se determinan con el mismo método visto para las líneas aéreas.

Análogamente a las líneas aéreas, para los cables de múltiples conductores, o haces de cables de un conductor, la inductancia se determina construyendo su matriz y considerando los conductores, además las pantallas, las armaduras, caños metálicos que contienen al cable también deben ser considerados conductores e incluidos en la matriz.

Las mayores perdidas debidas a la corriente en las pantallas, en la armadura o en el ducto que contiene el cable tienen un efecto equivalente al incremento de resistencia de los conductores, y se deben tener en cuenta en el calculo de su valor.

En el capitulo 4 Impedancia serie de líneas de transmisión y el capitulo 5 capacitancia de líneas de transmisión - del libro de Graiger y Stevenson - ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA se encuentran tratados los temas cuya lectura se recomienda.

- capitulo 7 punto 10 de Fuchs – trasmissao de energía eletrica – linhas aéreas.

Si se quiere llegar a fondo de los temas de la tierra como retorno, los trabajos primeros que deben consultarse son:

Wave propagation in overhead wires with ground return - John R. Carson - Bell System Techn. J. - Vol 5, 1926, pp. 539-554.

Reactance of transmission lines with ground return - J. E. Clem - AIEE Trans., vol 50, September 1931, pp.901-918.

Zero sequence impedances of overhead tree phase and single phase transmission circuits - Edit Clarke, G. K. Carter, General Electric Rev. june 1941 - Vol. 44 - N6, pp 329-336.