TEMA 5 - CUADRIPOLO DE TRANSMISION DE ENERGIA.

Introducción

Los elementos componentes de la red eléctrica pueden tratar de representarse como cuadripolos, de distintos tipos y con distintas configuraciones. La forma general es con parámetros A, B, C, D, y relaciona las variables de un lado del cuadripolo, con las del otro lado (tensión y corriente), algunos parámetros son adimensionales, otros tienen dimensiones de impedancia o admitancia, se dice que es una representación con parámetros híbridos.

E1

=

A

B

*

E2

I1

  

C

D

  

I2

El cuadripolo más natural, en problemas de transmisión de energía, es el PI - ver figura (que representamos en la matriz híbrida [A])

1 + Z * Y2

Z

Y1 + Y2 + Z * Y1 * Y2

1 + Z * Y1

Otro es el T - ver figura:

1 + Y * Z1

Z1 + Z2 + Y * Z1 * Z2

Y

1 + Y * Z2

La línea de transmisión (parámetros distribuidos) también se representa con un cuadripolo:

Ch (a * S)

Z0 * Sh (a * S)

Sh (a * S) / Z0

Ch (a * S)

Donde: a es la función de propagación, Z0 la impedancia característica, S la longitud de la línea

Formas de representación

Los cuadripolos se pueden representar en cuatro formas, como matriz de impedancias [Z]

E1

=

Z11

Z12

*

I1

E2

  

Z21

Z22

  

I2

Como matriz de admitancias [Y]

I1

=

Y11

Y12

*

E1

I2

  

Y21

Y22

  

E2

En forma híbrida, como fue representado en el punto anterior [A]

E1

=

A11

A12

*

E2

I1

  

A21

A22

  

I2

Y en una cuarta forma [D]

E1

=

D11

D12

*

E2

I2

  

D21

D22

  

I1

Operaciones

Un cuadripolo se puede describir con sus parámetros en alguna de las cuatro formas arriba indicadas, se puede pensar en operaciones que convierten los parámetros expresados en una forma en otra, por ejemplo del cuadripolo descripto con parámetros una forma [A] en otra [D], o [Z], o [Y], por ejemplo las ecuaciones que siguen permiten transformar los parámetros [Y] en parámetros [Z]

Z11 = Y22 / Ydeterminante

Z12 = - Y12 / Ydeterminante

Z21 = - Y21 / Ydeterminante

Z22 = Y11 / Ydeterminante

Ydeterminante = Y11 * Y22 - Y21 * Y12

Transformando [A] en [Z]

Z11 = A11 / A21

Z12 = -Adeterminante / A12

Z21 = 1 / A21

Z22 = -A22 / A21

Adeterminante = A11 * A22 - A21 * A12

Transformando [Z] en [A]

A11 = Z11 / Z21

A12 = -Zdeterminante / Z12

A21 = 1 / Z21

A22 = -Z22 / Z21

Zdeterminante = Z11 * Z22 - Z21 * Z12

Otra posibilidad es, dados los parámetros de dos cuadripolos, obtener los parámetros de la serie (cascada), o el paralelo, hacer operaciones combinadas.

Los parámetros de la cascada se obtienen por producto de las matrices [A] de los dos cuadripolos sobre los que se hace la operación.

Para dos cuadripolos en paralelo la operación se hace por suma de matrices [Y] de los dos cuadripolos sobre los que se hace la operación.

En cambio en serie la operación se hace por suma de matrices [Z] de los dos cuadripolos sobre los que se hace la operación.

Una operación mas complicada es hacer paralelo la entrada, y serie la salida, que se hace con suma de las matrices [D]

Otra operación es inversión, convertir la entrada en salida del cuadripolo dado.

Las soluciones de estos distintos problemas se obtienen simplemente por álgebra matricial, aunque trabajosas las operaciones hechas en forma sistemática logran resolver los distintos problemas de interés.

Aplicación a cuadripolos

1 ) componer la matriz híbrida de una cadena de tres cuadripolos Y1, Z2, Y3 (ver figura)

recordemos

E1 = A E2 + B I1

I1 = C E2 + D I1

Veamos los componentes

E1 = E2

I1 = Y E1 + I2

1

0

Y

1

E1 = E2 + I2 Z

I1 = I2

1

Z

0

1

E1

=

1

0

*

1

Z2

*

1

0

*

E4

I1

  

Y1

1

  

0

1

  

Y3

1

  

I4

E1

=

1

0

*

1+Z2 * Y3

Z2

*

E4

I1

  

Y1

1

  

Y3

1

  

I4

E1

=

1+Z2 * Y3

Z2

*

E4

I1

  

Z2 Y1 Y3 + Y1 + Y3

1 + Z2 * Y1

  

I4

Que muestra el resultado logrado

2 ) Componer la matriz híbrida de un transformador real a partir de un transformador ideal y de una impedancia.

Hipótesis simplificativa: se desprecia la excitación - ver figura

E1 = E2 / a

I1 = I1 a

E1

=

1 / a

0

*

1

Z

*

E3

I1

  

0

a

  

0

1

  

I3

E1

=

1 / a

Z / a

*

E3

I1

  

0

a

  

I3

Comparando esta matriz con la solucion del problema anterior (ver figura) se nota:

Z2 = Z / a

1 / a = 1 + Z2 Y3

Y3 = (1 / a – 1) a / Z

.a = 1 + Z2 Y1

Y1 = (a – 1) a / z

3 ) Construir el modelo numerico del transformador con los siguientes datos- ver figura

.a = 1.05

Z = j 0.10

Resultados

Z2 = a * Z = j 0.10 * 1.05 = j 0.105

Y1 = (1 – a) / Z = (1 – 1.05) / j 0.10 = j 0.5

Y3 = (a – 1) a / Z = -j 0.05 * 1.05 / 0.10 = -j 0.525

Representando el cuadripolo con impedancias resulta

Z1 = 1 / j 0.5 = - j 2

Z3 = 1 / (- j 0.5 * 1.05) = j 2 / 1.05 = j 1.9047619

Notese que las ramas en derivacion a tierra son una inductiva y la otra capacitiva (cuidado, este modelo no sirve para transitorios - por que?)

4 ) Componer la matriz de admitancias de un transformador real como para el problema 2 - ver figura

La matriz de admitancias esta dada por:

I1 = Y11 E1 + Y12 E2

I2 = Y21 E1 + Y22 E2

Escribiendo las ecuaciones

I1 = a * I3

E3 = a * E1 - Z * I3

I1 = (a^2 * E1 - a * E3) / Z

I3 = (a * E1 - E3) / Z

.a^2 / Z

-a / Z

-a / Z

-1 / Z

Comparando este modelo, con el modelo del circuito PI se obtiene (ver figura)

I1 = (Y1 + Y2) * E1 - Y2 * E3

I3 = Y2 * E1 - (Y2 + Y3) * E3

Y2 = a / Z

Y1 = (a^2 - a) / Z

Y3 = (1 - a) / Z