TEMA 12 - TRATAMIENTO MATRICIAL, RESOLUCION NUMERICA.

El estudio de las redes eléctricas fue planteado desde el inicio mediante sistemas de ecuaciones, basadas en las leyes de Kirchhoff.

Se observa que el numero de nodos, ramas, o mallas de una red rápidamente toma un valor elevado, y el problema se transforma en un sistema de ecuaciones grande, con coeficientes complejos.

En una época en que las necesidades de resolver redes se sentían, pero las posibilidades del calculo numérico en computadoras eran todavía casi nulas, se construyeron calculadoras analógicas aptas para realizar modelos de redes para los estudios de régimen permanente.

Una cantidad de elementos que representan líneas, transformadores, cargas, generadores, forman el modelo, los extremos de cada elemento llegan a un tablero de conexiones donde se arma la topología del modelo de la red, a cada elemento se asigna el valor que le corresponde.

Al aplicar tensión a los generadores se presenta una condición de régimen (a veces con frecuencias varias veces la de la red estudiada) y con un sistema de tipo telefónico (teclado o disco) se invoca el código del elemento y se conectan al mismo el amperímetro, el voltímetro y el vatímetro, permitiendo leer los resultados de interés.

Armar la red, seleccionar los valores, poner la red en régimen, hacer las lecturas, llevaba varias horas.

Desde 1960 la difusión de las computadoras numéricas condeno a la demolición estos engendros eléctricos muy ingeniosos y didácticos, utilizados no solo para enfrentar problemas eléctricos, sino también para resolver posibles analogías.

Las computadoras permitieron que plantear problemas de mas de 10 ecuaciones y resolverlos con exactitud, dejara de ser una tarea casi imposible.

Planteo del problema

La ley de Ohm relaciona tensión y corriente, a través de una impedancia (admitancia)

E = Z * I

I = Y * E

Al estudiar los cuadripolos hemos visto como relacionar sus variables, de las formas presentadas nos interesan dos, que se presentan análogas a la ley de Ohm.

[ E ] = [ Z ] * [ I ]

[ I ] = [ Y ] * [ E ]

Siendo [ E ] e [ I ] matrices columna de 2 elementos, y [ Z ] e [ Y ] matrices cuadradas de 2 x 2.

Supongamos ahora una red de muchos nodos, decimos que dos nodos que están conectados a través de un elemento de unión (impedancia ze o admitancia ye) son adyacentes.

La red tiene un nodo de referencia, entre un nodo cualquiera (el 1 por ejemplo) y el de referencia (el 0) se tiene

I10 = E1 * ye01

Entre dos nodos (el 1 y el 2)

I12 = (E1 - E2) * ye12

Los valores ye son las admitancias cuyos extremos están conectados a los dos nodos.

Matriz de admitancias de nodo

Aplicando el primer principio de Kirchhoff, sumando todas las corrientes en un nodo se tiene

I1 = I10 + I12 + I13 - …

I1 = E1 * ye10 + (E1 - E2) * ye12 + …

I1 = E1 * (ye10 + ye12 + …) - E2 * ye12 - …

I1 = Y11 * E1 + Y12 * E12 + …

Si dos nodos no son adyacentes, no hay admitancia que los une (directamente) Yij es nulo, solo tendrá valor cuando el grafo que representa la red une los nodos i y j, Yij esta dado por la admitancia entre los nodos I y j cambiada de signo.

En cada nodo Yii esta dado por la suma de todas las admitancias que concurren al nodo i (con signo +).

Si se conocen los valores de las tensiones de los nodos, el sistema de ecuaciones permite encontrar las corrientes inyectadas en los nodos (potencias inyectadas), este modelo se aprovecha para determinar el flujo de carga en la red

[ Ia ] = [ Y ] * [ Ea ]

El sistema describe ecuaciones de nodos de la red, matriz de admitancias de la red, que es simétrica resultando Yij = Yji

Hagamos una comparación con la matriz de admitancias del cuadripolo, que desde este punto de vista es una red de dos nodos (y referencia), determinemos las 4 impedancias Yij que corresponden, y observamos también la simetría.

Y10 + Y12	-Y12
-Y12	Y20 + Y12

Matriz de impedancias de nodo

En el planteo anterior, si imponemos E podemos determinar I, y si imponemos I debemos invertir la matriz Y obteniendo:

[ E ] = [ Z ] * [ I ]

siendo [ Z ] = [ Y ]^(-1)

La matriz Z se llama matriz de impedancias de la red, esta también se puede obtener aplicando el segundo principio de Kirchhoff a las mallas de la red.

Cuando esta matriz incluye también las impedancias internas de los generadores, se la llama matriz de cortocircuito.

Si se hace cortocircuito en un nodo, todos los I son nulos salvo el que corresponde al nodo en cortocircuito, se supone que esta corriente es 1, se determina la tensión y por proporción se aumenta la corriente en relacion con la tensión.

Sentido físico de los coeficientes Y

Si hacemos cero todas las E menos E1 se tiene:

I1 = Y11 * E1

Se han conectado todos los nodos con el nodo 0 salvo el nodo 1, si E1 es 1 la corriente I1 nos da el valor de la admitancia Y11.

Si conectamos al nodo 0 todos los nodos salvo el 2 y observamos I1 tenemos:

I1 = Y12 * E2

Si E2 es 1 la corriente I1 nos da el valor de la admitancia Y12.

Observemos una vez mas que para estas determinaciones hemos puesto los nodos i en cortocircuito con el nodo 0.

Sentido físico de los coeficientes Z

Si hacemos cero todas las corrientes I menos I1 se tiene:

E1 = Z11 * I1

Para hacer cero las corrientes (impuestas) se deben abrir los generadores de corriente que inyectan corriente a los nodos.

Se abren salvo el nodo 1, si I1 es 1, corriente impuesta, la tensión E1 nos da el valor de la impedancia Z11.

Si abrimos todos los nodos salvo el 2 y observamos E1 tenemos:

E1 = Z12 * I2

Si I2 es 1, corriente impuesta, la tensión E1 nos da el valor de la impedancia Z12, impedancia de la red vista desde el nodo 1 cuando todos los restantes nodos de la red están abiertos (pero considerando las admitancias al neutro yei0).

Las figuras tratan de mostrar estos casos con circuitos simples (particulares) y el esfuerzo de generalizarlos debe hacerlo el lector, en la figura de admitancias obsérvese la red completa, se cortocircuitan todos los nodos menos el 1, y se mide la admitancia propia del nodo, observando que solo las que concurren al nodo influyen, luego se cortocircuitan todos los nodos menos el 2, la corriente 1 solo circula por la admitancia y12, y se determina la admitancia mutua entre nodos 1 y 2 (no olvidando el signo), en la figura de impedancias obsérvese la red completa, se quitan las fuentes de corriente de todos los nodos menos el 1, y se mide la impedancia propia del nodo, observando que todos los elementos influyen, luego se quitan todas las fuentes de corriente de todos los nodos menos el 2, la tensión 1 determina la impedancia mutua entre nodos 1 y 2, también influyen todos los nodos.

Actualización de Y

Conocemos la matriz Yv (vieja) que corresponde a n-1 nodos, y agregamos un nuevo nodo, queremos determinar la matriz Y nueva.

Preparamos la matriz Y, a partir de Yv que era cuadrada de n-1 filas y columnas, agregándole las fila y columna n, con todos elementos nulos, que luego modificaremos. El nuevo nodo es n y esta unido al nodo k con el elemento yenk,

Ykk = Yvkk + yenk

Y entre los elementos nulos agregados acualizamos los siguientes

Ynn = yenk

Ykn = Ynk = -yenk

Si en cambio agregamos en la matriz Yv (vieja) un elemento entre el nodo k y 0, yek0, la matriz no cambia el tamaño y actualizamos

Ykk = Yvkk + yek0

Si agregamos en la matriz Yv (vieja) un elemento entre el nodo j y k, yejk, tampoco cambia el tamaño y debemos actualizar los siguientes

Yjj = Yvjj + yejk

Ykk = Yvkk + yejk

Ykj = Yjk = -yejk

Construcción inductiva de Z

Comencemos con una red de dos nodos, se tienen:

Z11 = ze11 * (ze12 + ze22) / (ze11 + ze12 + ze22)

Z22 = ze22 * (ze12 + ze11) / (ze22 + ze12 + ze11)

Z12 = Z21 = ze11 * ze22 / (ze11 + ze12 + ze22)

Ahora conocemos la matriz Zv (vieja) que corresponde a n-1 nodos, y agregamos un nuevo nodo, queremos determinar la matriz Z nueva.

Preparamos la matriz Z, a partir de Zv que era cuadrada de n-1 filas y columnas. El nuevo nodo es n y esta unido al nodo i con el elemento zeni,

Tenemos n-1 ecuaciones que en la matriz Zv son de la forma:

E1 = Z11 * I1 +… + Z1i * Ii +… + Z1(n-1) * I(n-1)

E2 = Z21 * I2 +… + Z2i * Ii +… + Z2(n-1) * I(n-1)

Al agregar el nodo n, aparece una corriente In, como el nodo n esta unido al i, dentro de la red la corriente Ii es sustituida por (Ii + In), lo que equivale a agregar un termino a cada una de las n-1 ecuaciones, y se debe agregar una ecuación mas:

En = Ei + zeni * In

Reordenando las n-1 ecuaciones de la matriz actualizada se tiene

E1 = Z11 * I1 +… + Z1i * Ii +… + Z1(n-1) * I(n-1) + Z1i * In

E2 = Z21 * I2 +… + Z2i * Ii +… + Z2(n-1) * I(n-1) + Z2i * In

Y continuando, además reemplazando en En, Ei por el valor de la fila I se obtiene la ecuación n

En = Zi1 * I1 +… + Zii * Ii +… + Zi(n-1) * I(n-1) + (Zii + zeni) * In

A la matriz original le hemos agregado una fila copiando la fila i, y le hemos agregado una columna copiando las impedancias de la columna i, incluida la fila ya agregada, y sumando zeni, el elemento nn resulta:

Znn = Zii + zeni

Salvo el elemento nn, los otros se han obtenido por copia de filas y columnas existentes.

Sea una red de n nodos, entre nodos r y s se agrega una impedancia zers, todas las impedancias Zij resultan modificadas

Zij = Zvij + (Zvir - Zvis) * (Zvsj - Zvrj) / (zesr + Zvrr + Zvss - 2 * Zvrs)

Si se agrega una rama entre un nodo r y el neutro zer0, también se modifican todas las Zij

Zij = Zvij - Zvir * Zvrj / (zesr + Zvrr)

Las deducciones que conducen a estas ultimas dos expresiones de modificaciones no son inmediatas, y se las encuentra en la bibliografía.

Una característica que distingue de las matrices Z e Y es su grado de llenado, la matriz Y es rala mientras que la matriz Z es llena, características que también se pueden observar a partir de los algoritmos de construcción arriba detallados, también se sabe que cuando se invierte una matriz rala (como Y), se obtiene una matriz llena (como Z).

Lecturas recomendadas

El capitulo 7 el modelo de admitancias y el calculo de redes y el capitulo 8 el modelo de impedancias y los cálculos de red - del libro de Graiger y Stevenson - ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA es la lectura adecuada completar estos temas.

Los algoritmos de modificación de las matrices se encuentran en IMPIANTI ELETTRICI - VOLUME 1 - Francesco Iliceto - Capítulos 4 y 6.

Otra bibliografía: Hans EDELMANN - Theorie et calcul des reseaux de transport d' energie electrique - Dunod

Andre Angot - Moderna matematica para ingenieros - Editorial Nigar (ver capitulo 5 punto 4)

Stagg - El Abiad - Computer methods in power System Analysis - Mc Graw Hill