Consideremos un generador trifasico (ideal, sin impedancia, tres fuentes a 120 grados), una línea de transmisión (con sus impedancias en las tres fases y el neutro, como se representaron oportunamente) y una carga en estrella en el extremo opuesto al generador.

Conocidas las tensiones y las impedancias se pueden determinar las corrientes, en los conductores de fase y la corriente en el conductor neutro, el sistema de ecuaciones se puede escribir mas ordenado.

Las tensiones del generador se pueden representar como una terna de secuencia directa con solo una magnitud y tres ángulos, Ea = E1, Eb = E1/_-120, Ec = E1/_120. (nótese que para la secuencia directa en el tiempo primero pasa por el máximo Ea, luego Eb, por ultimo Ec, recuerde que los vectores giran en sentido anti horario, y los ángulos se miden en igual forma).

Para la secuencia inversa Ea = E2, Eb = E2/_120, Ec = E2/_-120 la sucesión temporal de los máximos es Ea, Ec, Eb, para la secuencia cero los tres fasores están en fase).

Un sistema trifasico lo podemos representar con sus componentes simétricas, transformándolo de sus componentes de fase a secuencia, el circuito de secuencias se puede resolver y luego haciendo la transformación inversa construir las componentes de fase. El valor Alfa = -1/2 + raiz(3) / 2

La misma transformación se aplica a tensiones y corrientes. Podemos entonces escribir las ecuaciones de las mallas transformándolas a secuencia de la siguiente manera.

Si premultiplicamos todos los términos por | Tinversa |, el orden de los factores en operaciones con matrices no puede ser alterado, pero las operaciones se pueden ejecutar en cualquier orden siempre que se respete el ordenamiento general, entonces teniendo en cuenta que | Tinversa | * | T | = 1 resulta

Las corrientes y tensiones han sido transformada a sus componentes de secuencia, nos queda una parte todavia sin transformar, que corresponde a la matriz de impedancias

Resolvemos entonces | Tinversa | * | Z | * | T | y se obtiene.

Los valores de la diagonal principal son dominantes, en el diseño y construcción del sistema se hace mucho esfuerzo para que Za = Zb = Zc, esto no se cumple nunca, pero es una hipótesis muy próxima a la realidad, y si la aceptamos resulta:

Escribimos entonces las ecuaciones de secuencia que se derivan de estas matrices

El otro esfuerzo que se hace al construir los generadores, es buscar que E0 = 0 y E2 = 0 se espera que los generadores del sistema solo tengan E1, aunque después en el sistema encontremos V2 y V0, si escribimos directamente las ecuaciones tenemos:

Veamos ahora como se comporta el sistema cuando se producen distintos tipos de fallas.

Esta falla no tiene ventaja estudiarla en componentes simétricas, el análisis solo sirve como ejercicio.

Al ocurrir esta falla Va = Vb = Vc = 0

Entonces transformando en componentes simétricas V0 = V1 = V2 = 0

Transformando inversamente tenemos

Observemos que hemos obtenido el resultado en valor y ángulo para las tres fases,

Al ocurrir esta falla Va = 0

Además Ib = Ic = 0

Solo se tendrá la corriente Ia

Entonces transformando las corrientes en componentes simétricas I0 = I1 = I2 = Ia / 3

Frecuentemente se puede aceptar que Z11 = Z22, y el denominador resulta (Z00 + 2 * Z11)

De aquí se observa que según sea la relación entre Z00 / Z11 la corriente de cortocircuito trifasico coincidirá con la monofasica (Z00 = Z11), será menor (Z00 > Z11, como ocurre cuando hay líneas o cables que limitan la corriente de falla), o podrá ser mayor (Z00 > Z11, como se presenta en bornes secundarios de transformadores que desacoplan la secuencia cero)

Al ocurrir esta falla Vb = Vc, pero obsérvese que no son nulas.

Además Ia = 0

Se tendrán las corrientes Ib = - Ic

Entonces transformando las corrientes en componentes simétricas

Resulta entonces considerando Z11 = Z22

Al ocurrir esta falla Vb = Vc = 0, obsérvese que no son nulas, a diferencia del caso anterior.

Además Ia = 0

Se tendrán las corrientes Ib e Ic, que ahora no son iguales, y habrá corriente también por la tierra (habrá homopolar)

Entonces transformando las tensiones en componentes simétricas

Podemos ahora hacer la transformación de secuencia a fase y encontraremos las corrientes Ib e Ic, también se debe determinar la corriente de tierra.

Otro tipo de falla que puede ocurrir es la interrupción no trifasica del circuito, para analizarla con el mismo método entre la fuente (equivalente Thevenin) y la carga, introducimos otra tensión delta presente en las tres fases y que se utiliza para imponer las condiciones que permiten definir las conexiones entre los circuitos de secuencia que se utilizan al estudiar la falla.

Para la interrupción de solo una fase las condiciones son, corriente Ia = 0

Tensiones deltab = deltac = 0

Para la interrupción de dos fases las condiciones son, corriente Ib = Ic = 0

Tensiones deltaa = 0

Las fallas hasta aquí estudiadas han sido con impedancias nulas o infinitas, se propone repetir el estudio con impedancias de un valor definido.

Se observan los valores de las impedancias de las tres secuencias, la impedancia de falla (que puede representar el arco eléctrico), la corriente de falla (referida a 100 MVA, 132 kV) en valores de secuencia y fase, cada valor esta dado en modulo y fase.

• el interruptor próximo a las barras b se abrió, posteriormente abrieron los interruptores ubicados en la red del lado fuente respecto del punto a.
• el interruptor próximo a las barras b se abrió por acción de un relé en conexión residual (suma de las tres corrientes de fase) que observa la línea de entrada.

• los interruptores lado fuente del punto a, se abrieron por acción de los relés de impedancia,.
• la actuación de los relés confirmo que la falla esta mas allá de a respecto de la fuente, y el relé b hizo pensar que la falla estaba también mas allá de b.
• la ubicación de la falla no fue posible, mas allá de b no se encontraba, y entre a y b la falla no se encontró, finalmente se encontraron trazas de arco sobre una cadena ubicada en x, la falla había sido fugaz.

Mientras tanto para confirmar lo ocurrido se resolvió el problema calculando.

• en el punto b se determino la corriente 3 * I0 = 3 * 1.3227 = 3.9681 pu, = 691,4017 A

• relé en conexión residual (suma de las tres corrientes de fase) en b había actuado con mas de 600 A, que era su corriente de actuación.

• la determinación de las impedancias vistas por los relés ubicados antes del punto a justifico su actuación, aun teniendo en cuenta la variación de corriente debida a la apertura del interruptor ubicado próximo a b que elimino la corriente homopolar mas allá de la falla x.

Retomemos el circuito con que comenzamos el tema pero poniendo solo tres impedancias que constituyen la carga, se pueden escribir tres ecuaciones:

Podemos plantear las ecuaciones de secuencia (notando que no se tiene mas la impedancia de neutro):

Resolvemos nuevamente | Tinversa | * | Z | * | T | y se obtiene.

Haciendo

Los valores Z0, Z1 y Z2 no deben ser confundidos con los que se han incluido en los circuitos al estudiar las fallas asimétricas (llamados Z00, Z11, Z22). Se obtiene finalmente la matriz

Con esta matriz se puede completar las ecuaciones para el circuito con que iniciamos el examen

Estas ecuaciones muestran que si se hace una representación circuital aparecen impedancias mutuas entre los circuitos de secuencia, impedancias desequilibradas generan secuencias acopladas fuertemente, a pesar de que las fases no estan acopladas.

Veamos ahora el caso en el cual las fases estan acopladas (observemos que la diagonal es nula).

Transformando a secuencias

Resolvemos la impedancia mutua | Tinversa | * | M | * | T | y se obtiene.

Siendo

Si se tienen impedancias propias y mutuas

Si las autoimpedancias y las mutuas son simetricas los elementos fuera de la diagonal son nulos

Hemos visto la transformacion de magnitudes de fase a secuencia, metodo llamado de las componentes simetricas o de Fortescue, que resulta de utilidad para resolver cierto tipo de problemas.

En 1917 W. W. Lewis introdujo el empleo de componentes que se llamaron despues cero, alfa y beta, en un articulo publicado en la General Electric Revue, Short circuit currents on grounded neutral systems.

En diciembre de 1938 Edith Clarke en la misma revista publico Problems solved by modified symmetrical components, llamando a las componentes cero, alfa y beta y difundiendo su empleo, y en su homenaje se las llamo componentes de Clarke.

El valor R3 debe interpretarse como raiz(3)

Esta transformacion se utiliza para resolver redes simetricas con desequilibrio.

El capitulo 11 componentes simétricas y redes de secuencia y el capitulo 12 Fallas asimétricas - del libro de Graiger y Stevenson - ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA es la lectura adecuada completar estos temas.

Ernesto Joao Robba - Introducao a sistemas eletricos de potencia - componentes simetricas - (1972 Edgard Blucher editora da Universidade de Sao Paulo)

Edith Clarke - Circuit analysis of a -c power systems (John Wiley & Sons, 1943)