- Gran complejidad (1), ecuaciones, modelos integro diferenciales multivariables muy diversos para los distintos componentes, gran cantidad de componentes, gran cantidad de vínculos, muchas condiciones iniciales y de contorno.

Los sistemas sencillos permiten soluciones analíticas, pero cuando el sistema se complica la solución analítica se hace imposible.

- Alinealidades (2), que se producen especialmente en los modelos integro diferenciales de los componentes.

- Variabilidad en el tiempo (3), tanto de ciertos parámetros de los modelos de componentes como de las ecuaciones de vinculo.

- Efectos de frecuencia (4), que afecta la respuesta de los componentes.

- Numerosas variantes a analizar (5), para cada caso de estudio, modificando tanto los parámetros de los componentes, como las ecuaciones de vinculo o las condiciones iniciales y de contorno.

- Difícil "internalizacion" del modelo completo (6), se hace difícil comprender la esencia del problema, es difícil para el analista adquirir sensibilidad para prever las respuestas razonables en las diferentes variantes.

- Precisión limitada (7), por la dificultad de conocer muchos de los parámetros físicos reales, por las variaciones aleatorias, por las simplificaciones inherentes en los modelos matemáticos.

- métodos empíricos, que presentan muchas dificultades de realización, algunas cosas no se pueden hacer, otras no se permiten, en algunos casos se teme...

- Experiencia de operación, es un método eminentemente empírico, que muchas veces no cuenta con suficiente apoyo de documentación, registros etc.

- Mediciones de campo (in situ), particularmente interesante por los resultados que puede brindar, pueden ser:

- Registros especiales de largo plazo, que con continuidad suficiente, y gran esfuerzo pueden considerarse experiencia de operación.

- Pruebas puntuales (ad hoc), que se desarrollan sobre un fenómeno individualizado.

Para estos trabajos es importante prever instalaciones aptas para hacer las mediciones, adecuados trasductores, cables, borneras.

Se trata de instalaciones preferentemente centralizadas, donde se dispone de todas las variables para poderlas registrar.

- métodos de simulación.

- Modelos a escala geométrica, que no son de aplicación en los problemas de nuestro interés, salvo casos muy puntuales.

- Modelos matemáticos, que presentan todo el espectro de posibilidades

- Solución analítica, aplicable solo en problemas muy simples, lo cual es terrible limitación las mas de las veces.

- Solución numérica directa, mediante ordenador digital (computadora).

- Calculadora diferencial analógica o híbrida, en la que se plantean y resuelven ecuaciones diferenciales.

- Analizador de transitorios (TNA), modelo físico especial con el que se construye el sistema simulado.

- Respecto de las mediciones en campo (A) digamos que:

- Son insustituibles para convalidar modelos de simulación.

- Permiten mejorar el modelo de simulación.

- Para nuevos diseños no son aplicables, se deben hacer extrapolaciones.

- Respecto de los modelos matemáticos (B) analicemos las etapas a través de los cuales se desarrollan.

- Formulación (1) de modelos integro diferenciales de componentes, cuantificacion de sus parámetros.

Se debe tener mucho cuidado en no caer en errores de simulación, se debe conocer la naturaleza del fenómeno a estudiar.

- Establecimiento de las ecuaciones de vinculo (2), algebraicas, esta etapa es el armado de la red.

- Condiciones iniciales y de contorno (3), esta etapa es la de estudio del estado estacionario previo, alimentación.

- Resolución del sistema resultante (4), esta etapa es característica de las distintas técnicas que se aplican, aquí se notan las diferencias.

- Es útil y posible en casos muy sencillos, con simplificaciones importantes.

- Es aplicable en sistemas lineales con coeficientes invariantes en el tiempo.

- Eventualmente es necesaria una computadora digital para obtener los resultados numéricos finales.

Ejemplo: intentemos la resolución analítica del transitorio de cierre de un circuito R C

V = i * R + (1/C) * Integral de 0 a t de (i * dt) + V0

derivando

0 = R * di/dt + (1/C) * i

i =-R * C * di/dt

se ha planteado el modelo.

i(t) = ((V- V0)/R) * exp(-t/Tau) siendo Tau = R * C

- Se transforman las ecuaciones integro diferenciales en ecuaciones de diferencias finitas.

- Es posible tratar alinealidades y coeficientes variables en el tiempo

- Es dificultoso controlar los errores acumulados.

- Es lento en el análisis de muchas variantes.

- El analista pierde sensibilidad al tratar de establecer las respuestas del modelo.

Ejemplo: busquemos la solución por un método numérico directo.

La ecuación se debe transformar en una ecuación de diferencias:

Vk = tensión sobre el capacitor

V0k = V0 , I0k = 0 , t = 0 , instante inicial

repetir hasta que iterese el fenómeno

Ik+1 = (V- V0k) / R

V0k+1 = V0k + (1/C) * Ik+1 * deltat

Ik = Ik+1

V0k = V0k+1

fin de la repetición.

Hagamos algunas observaciones, el valor de deltat debe ser definido, y se obtiene la función del tiempo.

El deltat debe definirse en base a lo que se debe evaluar, debe ser menor que un máximo y mayor que un mínimo.

Esta modalidad de trabajo permite incorporar alinealidades.

El método es valido en las proximidades del inicio del transitorio, el análisis es lento y es difícil controlar los errores acumulados, se pierde sensibilidad en el tiempo.

- Generalmente es de limitada complejidad.

- Permite representar pocas alinealidades.

- Solo pueden plantearse algunos tipos de variantes.

- El analista obtiene buena sensibilización a las respuestas del modelo.

Se dispone de módulos con funciones, integral, derivada, sumador, multiplicador, ganancia, y con ellos se plantea y resuelve la ecuación diferencial.

La solución se puede hacer por soft, con programas, o por hard, con equipos dedicados, pero generalmente la cantidad de elementos es limitada y esta situación limita la magnitud del problema.

- Modular: se realizan módulos que corresponden con circuitos eléctricos equivalentes de cada componente.

- Complejidad: limitada solo por la cantidad de módulos de componentes disponibles, que puede ser considerable, y en consecuencia el problema que se modela puede llegar a ser muy complejo.

- Incorpora alinealidades, efectos de frecuencia, variabilidad en el tiempo.

- Flexibilidad: es fácil considerar las variantes.

- La sensibilización al modelo es muy buena dada la posibilidad de una directa relación del analista y la directa correspondencia con la realidad.

- Precisión comparable a otros métodos.

- Rapidez de operación elevada cuando el analizador esta controlado con un ordenador digital dedicado.

El analizador de transitorios es analógico, compuesto con elementos particulares que son modelos de elementos de la red.

Se arma el circuito físicamente, en forma totalmente correspondiente al circuito real.

Aparecen factores de escala que vinculan el sistema real y el modelo.

Kr = R sistema / R modelo

El modelo es a escala eléctrica, ("geometría eléctrica"), y el resultado se obtiene produciendo el transitorio y midiendo.

El modulo es un elemento que se comporta en modo ideal, el contenido del modulo no es importante, si cumple la ley de Ohm es una "resistencia" aunque físicamente no lo sea.

Los módulos deben ser fieles a cada componente, el modelo se ha atomizado, cada elemento tiene una representación fiel, y se espera que el conjunto sea fiel a la realidad.

Ejemplo: consideremos un elemento, una inductancia que satura.

El modelo debe tener cierta inductancia L y a cierta pulsación W, a partir de cierta tensión Vs debe presentar la inductancia saturada Ls.

En el TNA el equipo establece las ecuaciones diferenciales y el operador establece el sistema.

Se trata de un sistema con un numero de elementos finito que puede representar infinitos sistemas, el gran sistema no representable se separa en lo que se representa en detalle y el resto del sistema.

Es importante la buena representación del resto del sistema, cuanto mas próximo es mas importante la buena representación, a medida que el resto es lejano la representación correcta es menos importante y entonces puede ser menos exacta.

Se trata de una aplicación de lo que podría considerarse un teorema de Thevenin generalizado.

Otra característica del TNA es el cumplimiento de las leyes naturales, las leyes de la física, con efectos inherentes a la simulación, por ejemplo la resistencia depende de la frecuencia, por el efecto pelicular, como en los conductores reales, ya que los conductores se representan con conductores.

En cambio en el modelo numérico es muy difícil definir y representar el efecto pelicular.

En la discusión de analogías y diferencias se debe tener en cuenta la disponibilidad del recurso, y su capacidad de representación y el tiempo que insume su uso...

Siempre los recursos son limitados, y debe plantearse el mejor aprovechamiento.

Para otros efectos también se puede simular la variación con la frecuencia.

La inductancia y resistencia de secuencia cero dependen de la frecuencia, el efecto de frecuencia en la tierra debe simularse suficientemente bien.

El TNA es flexible ya que los cambios de circuito son fáciles, el modelo sensibiliza al analista, el aprendizaje es rápido, y respeta rigurosamente la física, no pudiendo entregar resultados sorprendentes físicamente equivocados.

Supervisión, comando y control es lógico hacerlos con computadora, ya que así se puede automatizar la rutina al máximo.

- cálculos de sobretensiones para coordinación de los aislamientos.

- Verificación de métodos para limitar sobretensiones.

- Estudio de condiciones de resonancia o de ferroresonancia.

- Tensiones de restablecimiento y sobretensiones provocadas por maniobras

- análisis del comportamiento de sistemas controlados de compensación reactiva.

- generación y propagación de corrientes armónicas y sus efectos,

- comportamiento de los sistemas durante fallas y modalidades de protección.

Tanto los programas digitales como los TNA requieren tener suficientemente bien modelados los elementos.

En lo que sigue trataremos de analizar los modelos que propondremos prescindiendo del medio en que los utilizaremos, en rigor según cual sea el medio, se elige el modelo mas conveniente, y en consecuencia después de un primer examen volveremos a analizar cada modelo ligándolo al medio, sea este T.N.A. o programa de calculo numérico.

El modelo debe ser simple y fiel, como responde el sistema a las ondas distorsionadas ?

Las ondas teniendo en cuenta sus componentes de frecuencia pueden descomponerse en serie de Fourier, para tener en cuenta las asimetrías en componentes de Clarke, o Fortescue (la tensión se descompone en sus componentes simétricas).

En el sistema tenemos componentes armónicas y de secuencia, el modelo debe representar el comportamiento real de las armónicas en función de la frecuencia, y para las tres secuencias.

Frente a cualquier fenómeno que aparezca el comportamiento debe ser correcto, el modelo debe representar todo comportamiento del sistema, todo lo que se observa en el sistema

Programas digitales o modelos físicos se caracterizan por la modularidad de datos del sistema.

En general el modelo es especial para cada problema, para cada aplicación, el modelo general es demasiado complejo, y se pierde la esencia.

Repitamos el concepto de que el modelo debe tener todo lo necesario y solo lo necesario, la máxima virtud que debe buscarse en el modelo es la simplicidad.

La representación de la línea en el modelo monofasico se hace con PI equivalentes.

Para representar correctamente la línea se la descompone en elementos diferenciales l*dx (c/2)*dx, la ecuación de la onda es la integral sobre esta representación.

Se extiende el modelo monofasico al trifasico, cada elemento l, c se asocia a una variable de estado, en total 15 variables, y el retorno por tierra 16.

La línea puede ser representada con muchos de estos elementos conectados en cascada, debiendo cuidarse para una representación optima los valores de las capacitancias en los extremos de la línea.

Los parámetros de la línea que se conocen son:

- l1 inductancia de secuencia directa, que es igual a la de secuencia inversa, al excitar la línea con un generador de secuencia directa se observa l1 = Lf (medida en mHy/km).

- c1 capacitancia de secuencia directa, e inversa, los capacitores Cf están conectados en triángulo, y los Cn en estrella, al excitar la línea se observa que c1 = Cn + 3 * Cf (medidas en nF/km).

- c0 capacitancia a la secuencia cero, es inmediato observar que por Cf no circula homopolar y entonces c0 = Cn

- l0 inductancia de secuencia cero, l0 = 3 * Ln + Lf , obsérvese la dualidad.

De estas relaciones resultan:

Lf = l1

Cn = c0

Ln = (l0- l1)/3

Cf = (c1- c0)/3

En este modelo coexisten las tres secuencias, y el modelo responderá adecuadamente, por ahora hemos realizado un modelo ideal sin perdidas, incorporemos las resistencias Rf y Rn.

- r1 = Rf resistencia directa

El problema es Rn, se debe individualizar como se comporta el terreno, además debe considerarse que Ln también varia con la frecuencia.

De la geometría se obtienen los parámetros que caracterizan la línea, y con ellos se hace el modelo.

La línea en rigor es de parámetros distribuidos, como discretizarla?

A veces es suficiente concentrar toda la línea en un solo elemento físico, esto se hace en los estudios de régimen permanente, el criterio de tamaño de la discretizacion esta dado por la frecuencia, para el flujo de carga es suficiente un solo elemento PI.

Según se estudien transitorios de distintos tipos se deberá plantear el modelo, cada transitorio se caracteriza por un ancho de banda, los transitorios de maniobra 20 kHz, los de propagación atmosférica 1MHz , los fenómenos transitorios llamados temporarios 50Hz

Transitorios temporarios son aquellos muy lentos, resonancias y resonancia subsincronica (a frecuencia 50 Hz).

Transitorios de maniobra son con intercambio de energía, debidos a maniobra intencional o accidental, se pasa de un estado estacionario a otro.

Los transitorios de propagación, se analizan sin considerar fenómenos energéticos, son los transitorios de rayos, pendientes muy abruptas, propagación en líneas de transmisión.

Surge una pregunta, cuantos PI deben ponerse para representar bien un transitorio de 20 kHz?, mediciones y matemáticas demuestran que deben considerarse 10 a 15 elementos PI.

La línea real no responde a frecuencias infinitas, el escalón de tensión en la línea real (idealizada) tiene un tiempo de viaje, en el otro extremo de la línea ideal el escalón aparece un cierto tiempo después.

Si la línea es con perdidas el escalón se distorsiona, el escalón tiene infinitos componentes de Fourier, la respuesta es limitada, en particular se observa el tiempo de frente, con un solo PI la distorsión es muy grande.

A baja frecuencia el paralelo es solo inductancia (susceptancia) BB, la resistencia es RA, y la reactancia es XA+1/BB, a alta frecuencia en cambio RA + 1/GB y XA son los parámetros.

Esta complicación se justifica observando que la inductancia de secuencia cero de la línea es la espira conductor terreno, el efecto pelicular en el terreno hace variar la penetración, a baja frecuencia el conductor equivalente al terreno esta profundo, y cuando la frecuencia aumenta hay menos penetración.

En la geometría se ve que la espira media baja el área, la inductancia disminuye y este fenómeno se nota aun a 50 hz.

En el sistema real la constante de tiempo siempre cae, la onda inyectada en la línea real llega distorsionada y retardada al otro extremo de la línea.

El tiempo de frente se mide entre el 10 y 90% de la amplitud de la onda.

La línea de transmisión ideal tiene un tiempo de retardo, tiempo de viaje, que depende de la longitud de la línea y de la velocidad de propagación y lo que es importante no cambia la forma de la onda, no distorsiona.

vp = 1 / SQR(l * c)

La velocidad de propagación es para la secuencia directa la velocidad de la luz 300 km/seg, 300 metros/microseg.

Para la secuencia cero se reduce la velocidad por la resistencia a 150 200 metros/microseg.

La onda de secuencia directa se distorsiona muy poco, en cambio la secuencia cero se distorsiona mas y además llega mas atrasada.

El tiempo de viaje de la onda se determina como t = long/v.

Ln = (l0- l1) / 3

Rn = (r0- r1) / 3

C = 3 * c0

l = l1 / 3 + Ln = l0 / 3

zc = SQR(l / c) = SQR(l0 / (3 * 3 * c0)) = (1/3) * SQR(l0/c0)

zc = zc0 / 3

td = SQR(l * c) = SQR(l0 * c0) = td0

Ln = 2 * l1

C = (cf + cf / 2) + c0 / 2 = (c0 +3 * cf) / 2

cf = (c1- c0) / 3

c = C1 / 2

zc = SQR(l / c) = SQR(2 * l1 / (c1 / 2)) = 2 * zc1

td = SQR(l * c) = SQR(l1 * c1) = td1

La excitación con secuencia directa del modelo no significa que se deben ver las secuencias, solo se ponen de manifiesto los parámetros que en ella intervienen, también se puede aplicar un escalón de amplitud 1 a una fase, y-0.5 a las otras dos cortocircuitadas entre si, es decir, 1.5 de amplitud total del escalón.

Si se desarrollan estudios de transitorios de inserción, es importante la reactancia derivación, en cambio puede despreciarse la capacitancia.

Si se estudia la desenergizacion la capacitancia es fundamental, quizás sea despreciable la reactancia serie, la oscilación requiere la capacitancia.

Si se estudia la maniobra de una línea conectada al transformador, en general no se producirá saturación, para la alta tensión la frecuencia es elevada, pero si la línea no esta compensada o lo esta mal, el efecto Ferranti puede causar saturación.

Si no satura puede sacarse la inductancia magnetizante, también la capacitancia del transformador, lo importante es la capacitancia de la línea, el transformador queda reducido a la impedancia de cortocircuito (serie).

La inductancia magnetizante es del orden de 100 Hy, la línea ofrece una impedancia de 200 a 500 ohm para las ondas viajeras (impedancia característica).

Por ultimo debe tenerse en cuenta que el modelo del transformador deberá ser trifasico, y en algunos casos en cambio podrá considerarse una sola fase, esta misma conducta se sigue con cualquier otro componente.

Inclusive en principio puede ser de importancia tener en cuenta las conexiones de los arrollamientos, en estrella o en triángulo, y si el neutro esta o no a tierra.

En este modelo coexisten parámetros eléctricos, mecánicos y térmicos, del comportamiento mecánico es importante la precisión, se da la orden y se desencadena un proceso mecánico que lleva a la operación del aparato que produce el cierre o la apertura, acompañada de fenómenos eléctricos y térmicos que afectan el efectivo establecimiento o interrupción de la corriente.

El uso del interruptor esta asociado a las operaciones de cierre y de apertura, los modelos son distintos, en la apertura la interrupción de la corriente se produce en la proximidad del cero, la orden de apertura es seguida por la separación mecánica de los contactos, el establecimiento del arco eléctrico entre ellos, y finalmente la interrupción ideal, en el cero de corriente.

La interrupción en el cero es característica de la operación con grandes corrientes, cortocircuito, en cambio al interrumpir corrientes pequeñas se puede producir la anticipación de la interrupción respecto del cero natural ("chopped"), esto ocurre en particular con corrientes inductivas.

Si se interrumpe una corriente inductiva en el instante de cero, se produce una oscilación de alta frecuencia de la tensión, a partir del instante en que la corriente pasa por cero y es cortada; la tensión es oscilatoria con frecuencia que depende de la capacitancia e inductancia entre el borne lado carga del interruptor y tierra.

Si la interrupción se anticipa al cero, entonces el fenómeno es también oscilatorio, pero con sobretension mayor ya que la energía electromagnética se transforma en electrostática.

L * di/dt = v

Si se debe simular el efecto de la anticipación de la interrupción es importante una buena sincronización debiendo preverse esta situación en el modelo.

Otro fenómeno que acompaña la interrupción es el reencendido, si la tensión de retorno excede la rigidez de la cámara del interruptor, el arco se reenciende por el valor de cresta de la tensión o por la derivada dv/dt.

A diferencia de los modelos anteriores (línea y transformador), en este aparece la necesidad de una lógica de control, el modelo entonces recibe el comando, censa la corriente, censa la tensión y finalmente decide si debe interrumpir la corriente o debe cerrar, estableciendo nuevamente la corriente y con que condiciones.

En el estudio a veces se deben repetir las maniobras, la primera permite observar, luego se puede decidir como será la siguiente.

Los razonamientos hechos son monofasicos, con pequeñas corrientes inductivas, el primer polo que abre es en general el mas exigido.

El fenómeno de cierre tiene otras particularidades, el interruptor es trifasico, existe discrepancia de polos, al instante de cierre una única orden de cierre se transforma en tres operaciones no simultaneas.

La orden pasa de la bobina de un relé a un movimiento mecánico y se producen los tres cierres separados.

Cuando se da la orden, su relación con el ciclo no esta definida, la probabilidad de darla es igual en cualquier punto de la sinusoide de tensión, la orden es equiprobable.

El retardo de cierre en cambio se adopta gaussiano alrededor de un valor medio (en rigor gaussiano truncado, cortado).

Los interruptores se garantizan con una discrepancia de polos de 3-5 mS a 50 Hz, aproximadamente 60 grados eléctricos.

Otro fenómeno que acompaña al cierre es el prearco, el cierre eléctrico depende del mecánico, antes de su contacto mecánico los polos tienen aplicada cierta tensión, que puede ser resistida o no, cuando se produce prearco, es como si el cierre metálico se hubiera anticipado, el fenómeno puede ser importante o no.

También en este caso la distribución de los instantes de cierre es aleatoria, influye el prearco, y es aleatorio el retardo del segundo contacto.

Las maniobras de cierre generan transitorios que son estadísticos y no deterministicos.

A su vez las aislaciones tienen comportamientos estadísticos, y se representa la probabilidad de ocurrencia de una descarga.

Como resultado de estos estudios se compara el comportamiento de la tensión, y se calcula el riesgo de falla, con esto no se ha resuelto el problema de dimensionar la aislacion, pero se dispone de datos de su comportamiento.

Existen descargadores convencionales, pero la evolución de la técnica ofrece desde hace años los descargadores de oxido de cinc.

El modelo puede realizarse con un generador de tensión y un resistor, la lógica debe controlar la actuación, el generador reproduce la forma de la onda de tensión, en consecuencia el descargador no conduce.

Si el descargador es activo, el incremento de la tensión de arco se simula incrementando V0 en deltaV con una cierta pendiente en el tiempo, si el descargador no es activo simplemente se hace cero deltaV.

La resistencia alineal se representa por tramos o con una función polinomica.

La corriente residual de estos descargadores aumenta con la temperatura, y el proceso puede llegar a ser térmicamente inestable.

La mejora del modelo hace necesario poder representar las curvas tensión corriente con la influencia de la temperatura ambiente, y la influencia de la corriente de descarga, una terrible dificultad se presenta en obtener los datos de equipos reales para poderlos modelar.

Los descargadores convencionales se eligen para que nunca ceben con la tensión alterna, los de oxido de cinc se eligen para soportar durante cierto tiempo una cierta tensión, si esto no es causa de inestabilidad térmica el criterio de elección es correcto.

En los estudios es de interés determinar cuanto se puede soportar una sobretension, y se hace necesario modelar el comportamiento con la temperatura, la característica sobretension duración depende de la temperatura.

Las cargas o consumos se pueden representar en distintas formas según se prevea su comportamiento, en ciertos estudios la representación debe ser muy compleja para corresponder al funcionamiento real de la carga.

Generalmente es suficiente representarlas en alguna de las siguientes formas:

- con una impedancia constante.

- absorbiendo una potencia constante independientemente de las variaciones del entorno.

- absorbiendo corriente constante.

Los generadores son fuerzas electromotrices que previamente al transitorio establecen el flujo de carga en el circuito intervienen en el transitorio, y posteriormente al transitorio están nuevamente en estado estacionario.

El generador es una maquina con inercia, gira a la frecuencia de salida, tiene cierta tensión de salida, tiene cierta masa rotante (G*D^2).

La inductancia del generador varia en el tiempo, esto se observa durante los cortocircuitos, la corriente varia en modulo y se habla de subtransitorio, transitorio, y estado permanente.

En el estudio transitorio la maquina actúa con X"d, y se considera que la tensión y frecuencia se mantienen constantes, la inercia impide cambios de velocidad en los tiempos muy breves de duración del fenómeno.

En un transitorio de perdida de carga se produce variación de frecuencia, aumenta la velocidad (rechazo de carga), hay cambios de frecuencia y velocidad.

Para estudiar otros transitorios, por ejemplo la propagación de una sobretension atmosférica, se debe tener un generador que produzca la forma de onda deseada.

Cuando se debe efectuar un estudio se deben organizar adecuadamente los datos de la red, se puede decir que de la buena organización depende en parte la calidad del estudio, y sus posibilidades de repetición.

La organización de datos puede ser: